§ 90. Теория групп и метод разделения переменных

Решения физических задач, обладающие внутренней симметрией относительно некоторой группы, можно математически упростить с помощью связанного с этой группой выбора переменных. Мы покажем теперь, каким образом это приводит к методу «разделения переменных», который широко применяется в гидродинамике.

Рассмотрим, например, инвариантность уравнений Эйлера — Лагранжа для невязкой сжимаемой жидкости относительно группы

По определению, частные «автомодельные» течения, инвариантные относительно группы (18), можно выразить в виде

где

Очевидно, (42) есть частный случай соотношения

Найдем теперь все нестационарные течения невязкой жидкости, формально допускающие разделение переменных по формулам (41) и (43).

Наш первый результат будет отрицательного характера. Оказывается, что всякое такое течение инвариантно относительно группы (18): обобщение соотношения (42) до вида (43) ничего не дает.

Очевидно, что для любой дифференцируемой функции из соотношения (43) следуют равенства:

где суммирование производится по индексу Поэтому уравнение неразрывности эквивалентно уравнению

если справедливо соотношение (43). Аналогично, если пренебречь силой тяжести, уравнения движения невязкой жидкости эквивалентны уравнениям

Если постоянная, не зависящая от времени и не равная нулю, скажем , то Поэтому посредством очевидного изменения начала отсчета и единицы измерения времени можно свести наш случай к случаю течений, удовлетворяющих соотношению (42) и, следовательно, обладающих симметрией относительно группы (18).

В противном случае, как можно показать частным дифференцированием соотношений (45), (46) по времени при фиксированном будем иметь . В этом случае, в силу равенств следовательно, Отсюда, частный выбор переменной в формуле (45) дает как раз стационарные конические течения из § 88. Такие течения удовлетворяют соотношениям (41) и (43) при любом в частности при как в формуле (42); все они являются автомодельными относительно группы (18).

Итак, методом поиска решений, симметричных относительно группы (18), можно получить все невязкие течения, допускающие (кажущееся более общим) «разделение переменных» вида (41) и (43).

Для безвихревых течений соотношения (41) и (42) эквивалентны предположению, что потенциал скоростей допускает разделение переменных

что уже сделано в соотношениях (36) и (37). При этом для безвихревых баротропных течений можно применить обобщенное уравнение Бернулли из § 4,

Последнее ввиду равенств (44) сводится к уравнению

В случае несжимаемой жидкости можно получить расширение класса подобных решений, положив

Дальнейшие обобщения. Разделение переменных вида (47), хотя и эквивалентно формуле (41), наводит на мысль, что формально следует рассмотреть вообще все течения, которые автомодельны по времени в том смысле, что для них справедливо соотношение:

В этот класс течений входят также течения, рассмотренные в § 87, для которых [как сказано в замечании после формулы (32)]

инвариантность относительно (18) эквивалентна равенству

В него также входит новый класс несжимаемых безвихревых струйных течений, введенный Карманом. Последние определяются условием подобия

которое соответствует постоянному коэффициенту ускорения.