§ 89. Локальные и глобальные решения

Приведенные выше примеры показывают, что во многих случаях для задач, имеющих данную симметрию в пространстве и времени, существуют автомодельные математические решения. Однако сформулировать и доказать общую теорему существования гораздо труднее.

Когда имеется симметрия, достаточная для того, чтобы общие дифференциальные уравнения течения жидкости сводились к обыкновенным дифференциальным уравнениям, мы можем использовать стандартные локальные теоремы существования.

Однако существование глобальных решений, удовлетворяющих соответствующим краевым условиям, предсказать гораздо труднее. Ярким примером встречающихся здесь трудностей может служить сжимаемое невязкое плоское течение с симметрией вращения (спиральные линии тока). Как впервые показал Ринглеб, такое течение невозможно в «большом», поскольку его радиальная составляющая меняет свое направление на противоположное вдоль «предельной окружности».

Такую неопределенность наглядно можно продемонстрировать на течениях Тейлора — Маккола (§ 85), для которых режим конической симметрии типа присоединенной ударной волны ограничен условием достаточной малости угла при вершине конуса (при данном числе Маха). Для общего класса стационарных осесимметричных течений, удовлетворяющих уравнению (25), очень трудно строго определить существование решения в «большом», и опубликованные результаты не всегда надежны.

Подобным образом, хотя существование безударных центрированных волн разрежения возможно, волны сжатия связаны с ударными волнами, из-за чего весьма усложняется исследование существования решения в «большом» для автомодельных волн взрыва.

Другой интересный пример трудности определения глобального решения представляют собой осесимметричные струи (ламинарные, вязкие). Как показано в § 83, уравнения Навье — Стокса можно свести к обыкновенным дифференциальным уравнениям, если использовать автомодельное поле скоростей, имеющее в сферических координатах вид

К сожалению, как показал Беран, результирующее обыкновенное дифференциальное уравнение (17) не имеет глобальных решений, удовлетворяющих естественным краевым условиям для струи, вытекающей из круглого отверстия в плоской стенке или из какого-либо другого конического отверстия. Вопреки некоторым опубликованным результатам, по-видимому, только струя, вытекающая из труб с параллельными стенками, математически совместима в «большом» с требуемой симметрией (38) и естественными краевыми условиями.

Локальная теорема существования. Даже общие локальные теоремы существования нелегко доказать. Один

из положительных результатов формулирует следующая теорема (мы просим прощения у читателя за абстрактную математическую терминологию, которой мы воспользуемся ради краткости).

Теорема 1. Пусть есть прямое произведение своих подпространств и пусть для каждого фиксированного группа преобразований пространства X транзитивна на множестве где переменная Если дифференциальное уравнение определенное в X, инвариантно относительно то на существует дифференциальное уравнение порядка не более чем и такое, что удовлетворяет уравнению тогда и только тогда, когда удовлетворяет для

Доказательство. В окрестности каждой точки из X можно ввести в X локальные координаты Всякая частная производная по этим координатам будет иметь простой вид где частные производные по координатам и для соответственно. Отсюда всякий оператор в частных производных порядка на функциях определенных на X, можно записать в виде соотношения

которое представляет собой функцию частных производных на порядка не больше

Но те функции значение которых в любой точке зависит только от у (т. е. функции, инвариантные относительно оператор переводит в другие функции того же класса, а оператор (группа транзитивна) переводит их в 0. Поэтому для таких функций оператор эквивалентен дифференциальному оператору на полученному отбрасыванием всех членов, в которых Этим теорема доказана.

Следствие. Если задача корректна для некотого класса краевых условий, инвариантного относительно то корректна и задача

Хотя при доказательстве локальных теорем существования

для обыкновенных дифференциальных уравнений аналитичность несущественна, в теоремах существования для уравнений в частных производных такое условие часто существенно.

В случае аналитических уравнений с частными производными (и аналитическими группами симметрии) уравнение (39) также будет аналитично. В этом случае для многих задач с начальными условиями мы располагаем хотя бы локальными теоремами существования. Так, предположим, что все производные по времени входящих в уравнение функций выражаются через и их первые производные по пространственным координатам, так что можно записать уравнение

Тогда теорема существования Коши — Ковалевской утверждает, что уравнение (40) имеет одно и только одно локальное аналитическое решение для данных аналитических начальных условий при

А теперь предположим, что уравнение (40) инвариантно относительно группы Пусть есть множество аналитических начальных условий, инвариантное относительно Тогда единственное локальное решение, которое существует, согласно предыдущей теореме, тоже будет инвариантно относительно Следовательно, мы имеем локальную теорему существования (и единственности) для приведенного дифференциального уравнения, полученного методом поиска симметричных решений, если только таковая теорема имеется для первоначальных дифференциальных уравнений.

Кажущееся незначительным ограничение, что производные по пространственным координатам в уравнениях (40) должны быть первого порядка, на самом деле оказывается весьма сильным. Так, из него следует, что система (40) должна быть гиперболического типа. В случае сжимаемой невязкой жидкости это выполняется, чего нельзя сказать, например, о несжимаемой невязкой жидкости или любой вязкой жидкости. Для того чтобы строго установить даже локальную корректность метода поиска симметричных решений, нужны дальнейшие исследования в теории уравнений в частных производных.