§ 21. Несжимаемые вязкие жидкости

Ввиду трудностей, описанных в § 20, основное внимание математиков было сосредоточено на уравнениях Навье — Стокса для несжимаемых вязких жидкостей в предположении, что величины можно считать примерно постоянными. Большинство специалистов считает, что теоретическая гидродинамика, основывающаяся на уравнениях Навье — Стокса, дает довольно точное приближение динамики реальных жидкостей, если число Маха настолько мало, что можно пренебречь эффектами сжимаемости. Они уверены в том, что (перефразируя Лагранжа) «если бы уравнения Навье — Стокса были интегрируемы, то при малых числах Маха можно было бы полностью определить все движения жидкости» (ср. § 1). Для того чтобы исследовать, насколько обоснована такая уверенность, мы преобразуем сначала эти уравнения к более удобному виду.

Объединив уравнения (1 с условием несжимаемости (формула (1) из гл. I), мы получим уравнение

Если при обычном выводе уравнений движения учесть члены, содержащие величину то получим вместо уравнения Эйлера (2) в гл. I следующее уравнение:

Вместе с уравнением

уравнение (3) определяет (ньютонову) несжимаемую вязкую жидкость.

Легко учесть, как действует сила тяжести на твердое тело, погруженное в подобную жидкость, используя следующий принцип.

Теорема 1. Для вязкой жидкости с постоянной плотностью гравитационный эффект эквивалентен наложению гидростатического давления

Доказательство. Полагая в уравнении (3) где гравитационный потенциал, мы получим в результате уравнение

Предостережение. Заметим, что преобразование теоремы 1 не сохраняет обычного краевого условия на «свободной поверхности» для границы газ—жидкость. Следовательно, оно бесполезно при изучении волн на поверхности и кавитации (гл. III).

Для того чтобы получить из уравнений (3) и (4) корректно поставленную краевую задачу, вместо уравнения (7) гл. I введем краевое условие прилипания в следующем виде:

(На движущихся границах скорости движения границы, в то время как в невязком случае требуется, чтобы была непрерывной только нормальная составляющая скорости.)

Напомним также основной принцип подобия.

Теорема 2. Пусть удовлетворяет уравнениям (3), (4) и (6) при Если величины постоянные и такие, что то

также удовлетворяет уравнениям (3), (4) и (6), где проведена замена на на причем

Другими словами, любое изменение масштаба (в пространстве и времени), сохраняющее неизменным число Рейнольдса переводит несжимаемые течения, удовлетворяющие уравнениям Навье — Стокса, в решения тех же самых уравнений.

Рис. 7а. для цилиндра.

Рис. 76. для сферы.

Следствие. Если два стационарных течения удовлетворяют краевой задаче (3), (4), (6) при одном и том же числе

Рейнольдса и если эта краевая задача математически корректно поставлена, то обтекаемые этими течениями тела должны иметь один и тот же коэффициент лобового сопротивления

Классическое экспериментальное подтверждение данного следствия (но не обязательно тех гипотез, которые при этом были использованы!) показано на рис. 7а и 76, где приведены коэффициенты лобового сопротивления соответственно для цилиндра и сферы. Едва ли можно было предположить существование этих замечательных кривых, если бы свойства вязкости не были указаны в точной математической формулировке!

Представления, лежащие в основе теоремы 2, будут подробно проанализированы в § 71.