§ 66. Инспекционный анализ

В ньютоновой континуальной механике можно производить любые изменения типа (1) в масштабах длины, массы и времени, чего нельзя сказать о релятивистской и квантовой механиках. И, по-видимому, можно быть уверенным, что законы ньютоновой механики достаточно точно описывают поведение реальных жидкостей в обычных условиях. Хотя подобные изменения масштаба могут существенно повлиять на такие свойства вещества, как плотность и вязкость, диапазон плотности и вязкости реальных жидкостей настолько велик, что это влияние обычно остается незаметным.

Выделенный выше курсивом принцип можно доказать не только экспериментально на моделях, но его можно также вывести теоретически из основных уравнений гидромеханики. Этот вывод основывается на простом мета-математическом принципе: если какая-либо система математических уравнений инвариантна относительно некоторой группы, то то же самое справедливо для всех следствий из этих уравнений.

Применительно к скалярным преобразованиям (1), указанным принципом фактически пользовались Фурье, Стокс и другие пионеры исследования анализа размерностей, чтобы проверить правильность своих рассуждений. Этот метод был отчетливо осознан Рэлеем, когда он ссылался на «подобие»; преимущества этого метода признавал также Бриджмен, который писал: «Преимущество (анализа размерностей) в том, что он быстро приводит к результату, но... он не дает такой полноты информации, которую можно было бы получить с помощью...

детального анализа» и «анализ размерностей с физической точки зрения не столь поучителен, как условие подобия».

Принцип «динамического подобия» для движений жидкости обычно формулируется следующим образом.

Определение. Два течения жидкости называются динамически подобными, если их можно описать при помощи координатных систем, в которых пространство, время и масса связаны друг с другом следующими соотношениями:

Легко проверить, являются ли уравнения гидродинамической теории инвариантными относительно преобразований вида (22).

Именно это было сделано при доказательстве теоремы 2 из § 21. Из уравнений, подлежащих проверке, наиболее важны уравнения Навье — Стокса для несжимаемой вязкой жидкости:

Было показано, что эти уравнения инвариантны при отсутствии свободной поверхности, если для величин (гидростатическое давление можно учесть согласно теореме 1 из § 21) масштабы выбраны так, что число Рейнольдса из примера 5, § 62 сохраняется неизменным. (Относительно роли параметров, характеризующих данное вещество, таких, как см. § 65; их роль аналогична той, которую играют в теории электромагнетизма, где

В § 70—73 будут доказаны различные аналоги теоремы 2 из § 21 применительно к сжимаемому невязкому течению, сжимаемым струйным течениям, течениям с кавитацией и т. д. Но сначала мы рассмотрим инспекционный анализ вообще, для того чтобы лучше уяснить себе его отношение к традиционному анализу размерностей.