§ 47. Неопределенность точки отрыва

Соответствие между интегральными уравнениями (25) и препятствиями не является взаимно однозначным из-за наличия параметра Поэтому возникает основной вопрос: в каком смысле (если о нем можно говорить) корректно поставлена задача Гельмгольца, рассмотренная в § 36? Этот трудный вопрос еще не разрешен полностью даже для плоских течений, имеющих ось симметрии.

Таким образом, как показал в 1911 г. А. Вилла [22], даже течение Кирхгофа, описанное в § 39, не является единственным решением задачи Гельмгольца для плоской пластинки в бесконечном потоке. Для конфигурации, изображенной на рис. 17, появляется однопараметрическое семейство других, топологически отличающихся возможных решений (см. (D),§ 1).

В случае круглых препятствий возникает еще более существенная неопределенность, даже если предположить, что топология течения обусловливает наличие единственной бесконечной каверны позади препятствия. Еще до того как удалось доказать строгие теоремы, Бриллюэн установил, что положение точки отрыва является неопределенным. Этот факт тесно связан с неопределенностью постоянной в соотношении (25): вообще говоря, константа соответствует «смоченной длине», равной расстоянию от точки раздела С до точек отрыва и возрастает с увеличением участков СА = СВ. Поэтому задача Гельмгольца для круглых препятствий не является корректно поставленной, даже если задаться топологией течения.

Однако если предположить, что выполняется условие Бриллюэна (§ 43), то задача бесконечной каверны становится корректно поставленной, по крайней мере в некоторых случаях. Следуя Лерэ [35], определим «скобку» как препятствие кривизна которого возрастает, как показано на рис. 18. Лерэ доказал, что всякая симметричная скобка имеет единственную пару «точек Бриллюэна» обладающих следующим свойством: кривизна свободных линий тока в точках отрыва при любом симметричном обтекании части равна конечна или равна в зависимости от того, происходит ли отрыв перед точками в точках или позади точек соответственно.

Рис. 17. Обтекание плоской пластинки, по Вилла.

Рис. 18. Обтекание «скобки» по Гельмгольцу.

В первом случае ввиду бесконечной кривизны свободные линии тока должны проходить сквозь скобку, что невозможно. В третьем случае, очевидно, нарушается условие Бриллюэна. Следовательно, если мы определим задачу Гельмгольца — Бриллюэна, как задачу нахождения Эйлеровых течений, которые ограничены неподвижными препятствиями и свободными линиями тока, удовлетворяющими условию Бриллюэна, то получим следующее утверждение.

В случае бесконечной симметричной каверны позади скобки задача Гельмгольца — Бриллюэна поставлена корректно и отрыв происходит в точках Бриллюэна Интересно было бы точно определить класс симметричных препятствий, для которых задача Гельмгольца-Бриллюэна поставлена корректно.

Мы показали выше, что в случае скобок условие Бриллюэна эквивалентно условию конечности кривизны свободной линии

тока. В литературе не раз встречалось утверждение, что последнее условие («гладкого отрыва» — см. работу [17], гл. VI, § 6) представляет собой «физически разумную» замену условия Бриллюэна. Однако в силу условий (14) и особенно в силу того, что при обтекании по Кирхгофу плоской пластинки нарушается условие «гладкого отрыва», условие Бриллюэна кажется нам предпочтительным.