§ 22. Парадокс неаналитичности

Лагранж построил первое доказательство того, что в невязкой жидкости завихренность частицы жидкости является перманентной. К сожалению, доказательство Лагранжа, как показал Стокс ([13], т. 1, стр. 106—112), ошибочно. Оно одинаково применимо и к областям в вязкой жидкости, где эта завихренность неперманентна! Ошибка заключалась в том, что скорость и завихренность предполагались аналитическими функциями времени.

Если это принять (согласно гипотезе из § 1), то можно рассуждать следующим образом. Основное уравнение (3) эквивалентно (если применить операцию к обеим его частям) уравнению

относительно завихренности . С помощью независимых переменных Лагранжа где а относится к движущейся частице, так что (а фиксировано) есть мы можем преобразовать частные производные по формулам

Применяя эту операцию к уравнению (9), получаем соотношение

Последовательно дифференцируя соотношение (10) по времени при постоянном а, получим последовательность явных выражений для Легко показать, что каждый член в

каждом таком выражении содержит в качестве множителя либо либо либо одну из производных

Поэтому, предполагая все функции дифференцируемыми бесконечное число раз, индукцией по получаем, что все

Наличие вязкости проявляется в членах с пространственными производными от завихренности. Для невязкой жидкости начальная завихренность в любой точке обеспечивает то, что все в тех же точках, в то время как в вязкой жидкости для обращения в нуль пространственных производных от завихренности требуется отсутствие завихренности в некоторой окрестности точки .

И в том и в другом случае, если функция аналитическая по то она тождественно обращается в нуль, так как все члены ее разложения в ряд Тейлора (по тождественно равны нулю. Это приводит к следующему парадоксу.

Парадокс неаналитичности. Для того чтобы область жидкости, находящаяся вначале в состоянии покоя (или в безвихревом, движении), стала завихренной, она должна уже иметь завихренность, которая является неаналитической функцией времени.