§ 22. Парадокс неаналитичности
Лагранж построил первое доказательство того, что в невязкой жидкости завихренность частицы жидкости является перманентной. К сожалению, доказательство Лагранжа, как показал Стокс ([13], т. 1, стр. 106—112), ошибочно. Оно одинаково применимо и к областям в вязкой жидкости, где эта завихренность неперманентна! Ошибка заключалась в том, что скорость и завихренность предполагались аналитическими функциями времени.
Если это принять (согласно гипотезе
из § 1), то можно рассуждать следующим образом. Основное уравнение (3) эквивалентно (если применить операцию
к обеим его частям) уравнению
относительно завихренности
. С помощью независимых переменных Лагранжа
где а относится к движущейся частице, так что
(а фиксировано) есть
мы можем преобразовать частные производные по формулам
Применяя эту операцию к уравнению (9), получаем соотношение
Последовательно дифференцируя соотношение (10) по времени
при постоянном а, получим последовательность явных выражений для
Легко показать, что каждый член в
каждом таком выражении содержит в качестве множителя либо
либо
либо одну из производных
Поэтому, предполагая все функции дифференцируемыми бесконечное число раз, индукцией по
получаем, что все
Наличие вязкости проявляется в членах с пространственными производными от завихренности. Для невязкой жидкости начальная завихренность
в любой точке
обеспечивает то, что все
в тех же точках, в то время как в вязкой жидкости для обращения в нуль пространственных производных от завихренности требуется отсутствие завихренности в некоторой окрестности точки
.
И в том и в другом случае, если функция
аналитическая по
то она тождественно обращается в нуль, так как все члены ее разложения в ряд Тейлора (по
тождественно равны нулю. Это приводит к следующему парадоксу.
Парадокс неаналитичности. Для того чтобы область жидкости, находящаяся вначале в состоянии покоя (или в безвихревом, движении), стала завихренной, она должна уже иметь завихренность, которая является неаналитической функцией времени.