§ 50. Кавитационные течения как течения Гельмгольца

В § 43 было дано теоретическое обоснование эмпирического утверждения (Бетца — Петерсона, см. прим. 2] на стр. 88), что теория струй применима, если Это указывает на возможность математического описания кавитационных течений посредством решения краевой задачи Гельмгольца — Бриллюэна. Ниже мы дадим обзор доводов в пользу и против этого положения; в настоящем параграфе рассмотрим только первые доводы.

Во-первых, как и в случае кавитационных течений идеальной жидкости, очертания реальных каверн сравнительно гладкие, стационарные и имеют длину в 10 или более диаметров обтекаемого тела. Таким образом, они являются значительно лучшим приближением теоретической модели, чем реальные следы (см. § 53). Исключение составляют те случаи, когда препятствие помещено в кавитационную трубу при

Во-вторых, профиль каверны почти всегда выпуклый, и отрыв потока происходит у поперечного сечения с максимальным диаметром. Это утверждение в общем согласуется с решениями задачи Гельмгольца — Бриллюэна и заметно отличается от случая следов.

В-третьих, приближенная экспериментальная формула

для коэффициента при поперечном кавитационном обтекании цилиндра вполне хорошо согласуется с теоретическим значением вычисленным Бродецким для задачи Гельмгольца-Бриллюэна по методу из § 46, если ввести поправочный множитель согласно § 43.

Несколько наиболее интересных фактов относится к кавернам позади снарядов, выстреленных в воду. Фото I дает нам отличный материал такого рода; на фото показана каверна, образовавшаяся позади сферы, входящей в воду со скоростью около На одной и той же фотопластинке были сделаны два снимка со сдвигом во времени на 0,005 сек. Белые точки на снимках — это маленькие пузырьки, каждый из которых сфотографирован дважды. Нетрудно найти точки, соответствующие одному и тому же пузырьку, и длина вектора, идущего от первой точки ко второй для каждой пары, в грубом приближении пропорциональна вектору скорости воды вблизи пузырька. Таким образом, можно наглядно представить себе профиль каверны и поле скоростей течения.

Однако по разным причинам подобные снимки не вполне точно соответствуют теоретической постановке вопроса. Так, например, они изображают замедляемое тело, а не стационарное течение; поверхность воды является второй свободной границей, что усложняет математическое описание; к тому же нельзя пренебрегать влиянием воздуха (ср. § 53).

Применимость теории течений Гельмгольца качественно подтверждается тем, что позади снарядов, движущихся достаточно быстро, получаются каверны сколь угодно большой длины (100 диаметров и больше). Это явление имеет важное практическое значение: большое поражающее действие скоростных снарядов и осколков бомб обусловлено тем, что они могут проделывать отверстия, значительно превышающие их собственные размеры. Для нас же значение этого факта заключается в том, что он указывает физическое приближение к бесконечным кавернам, которые определяются математически как решения задачи Гельмгольца — Бриллюэна.

Обобщенная задача Гельмгольца. Если предположить, что выполняются условия (14) и что жидкость несжимаемая и невязкая, то можно применить концепцию Гельмгольца и к ускоренному течению с учетом гравитационных сил. С этой целью допустим, что кавитация самопроизвольно возникает, как только Получающуюся таким образом краевую задачу можно назвать обобщенной задачей Гельмгольца.

Идея о том, что реальную кавитацию можно математически описать при помощи решений обобщенной задачи Гельмгольца, подтверждается качественным наблюдением того, что заполненные паром каверны возникают у твердых поверхностей. Это эмпирическое положение можно вывести при рассмотрении -общенной задачи Гельмгольца следующим образом. Применяя оператор Лапласа к уравнению Бернулли [гл. I, формула (5)], получим уравнение

В формуле так как есть ньютонов гравитационный потенциал; в силу формулы (6) из гл. I; и, полагая так что получаем формулу

Отсюда причем равенство имеет место только если и постоянная, т. е. супергармоническая функция. Известно, однако, что супергармоническая функция должна принимать свои минимальные значения на границе; следовательно, будет становиться меньше прежде всего на границе.