§ 74. Асимптотическое изменение масштаба
Аффинное моделирование — как и в теории тонких тел — можно формально рассматривать в рамках анализа размерностей, приписывая разные «размерности» длинам в разных направлениях.
Однако гораздо более действенным является метод инспекционного анализа, который показывает, что такой «анализ размерностей» обычно равносилен особой теории возмущений, т. е. асимптотическому инспекционному анализу.
Мы рассмотрели случай линеаризованного моделирования по числу Маха. Сейчас мы приведем несколько примеров применения той же идеи.
Быть может, наиболее важным примером служат уравнения пограничного слоя Прандтля для ламинарного течения вблизи гладкой твердой границы (§ 27). Так, стационарное плоское течение в пограничном слое определяется [гл. II (14)] уравнениями
и краевыми условиями 
Эти уравнения, выведенные в приближении, когда толщина пограничного слоя считается бесконечно малой, инвариантны относительно группы аффинных преобразований вида
а также относительно группы, определяющей моделирование по числу Рейнольдса.
Другой пример дает теория безвихревых гравитационных волн в мелких водоемах с медленно изменяющейся глубиной 
. В самом грубом приближении средняя скорость частицы 
в этих «волнах на мелководье» для двумерного движения [58, разд. 2.2] удовлетворяет уравнению
Частный инспекционный анализ показывает, что уравнение (40) инвариантно относительно преобразования
при любом 
Так как уравнение (40) однородно и линейно, то оно инвариантно также относительно преобразований
Как уже было отмечено в § 15, волны на мелководье можно представить более точно уравнениями политропного течения при 
Из сказанного в § 73 следует, что они инвариантны при всех изменениях масштаба вида
В гл. V мы покажем, как с помощью таких групп можно получать в явном виде частные решения краевых задач.
Здесь же мы главным образом рассматриваем применения теории моделирования. Ее важным приложением является обоснование изменения вертикального масштаба в гидравлических моделях. Мы рассмотрим этот вопрос в § 77.
