Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 64. Обсуждение доказательстваЕсли предположить, что функцию Лемма 1. Для функции
где
Если Для таких функций мы введем следующее определение. Определение. Конечную сумму функций
будем называть Лемма 2. Если все члены Действительно, выполнив подстановку (2), получим
Простой пример Мы будем говорить, что Многие уравнения физики формально однородны, подобно приведенным выше в примерах 1, 3, 4. Утверждали даже (хотя это неверно, см. § 65), что все настоящие физические уравнения должны быть однородны и, действительно, критерием однородности по размерности часто можно пользоваться в качестве удобного способа формальной проверки физических уравнений, если вы в них не вполне уверены. Однако в действительности дело обстоит значительно сложнее, и некоторые тонкие разграничения, которые здесь надо иметь в виду, лучше показать на примере. В связи с этим мы вновь рассмотрим пример 2 из § 61. Если применить как
Это соотношение в отличие от соотношения (6) не только не зависит от выбора единиц, но и однородно по размерности, так как все входящие в него члены имеют размерность нуль по всем основным величинам. Несмотря на это, доказательство П-теоремы Букингема не применимо к соотношению (6). Следуя Бриджмену, мы можем рассмотреть также полиномиальное уравнение
И это уравнение, и соотношение (6) удовлетворяются в условиях примера 2; кроме того, функция Однако уравнение (18) не является не зависящим от выбора единиц в смысле соотношения (5), и функция
Так как уравнение (18) справедливо в любой системе основных единиц («справедливо при любых единицах», хотя и зависит от выбора единиц), то уравнение (18) есть тождество относительно величин Теорема 3. Пусть Доказательство следует из формального рассмотрения тождества
где Применив предыдущие рассуждения к ряду Маклорена, получим доказательство Букингема П-теоремы; по-видимому, оно равным образом применимо к ряду Лорана и к действительному ряду Дирихле внутри областей сходимости. Наконец, мы напомним свойство «абсолютной инвариантности относительной величины», введенное Бриджменом. Согласно Бриджмену, функция переменных
для всех положительных Мы приходим к следующему результату. Теорема 4. Пусть Доказат ельство. Пусть
где
Отсюда, полагая
Положим
Но степени двойки с рациональными показателями образуют всюду плотное множество положительных действительных чисел. Следовательно, если Повторив рассуждение для других индексов, мы приходим к утверждению теоремы.
|
1 |
Оглавление
|