§ 64. Обсуждение доказательства

Если предположить, что функцию можно разложить в ряд Маклорена, то можно дать другое алгебраическое доказательство П-теоремы, понять которое, быть может, легче. Мы приведем здесь это доказательство и некоторые связанные с ним результаты, чтобы полнее разъяснить понятие однородности по размерности. Прежде всего отметим следующие очевидные следствия из теоремы Эйлера об однородных функциях.

Лемма 1. Для функции зависящей от положительных величин выполнение Эйлеровых условий однородности

где действительные постоянные, эквивалентно следующему соотношению:

Если однородны по размерности, как в формуле (2), то однородна по размерности и функция и ее размерности относительно есть

Для таких функций мы введем следующее определение.

Определение. Конечную сумму функций удовлетворяющую (15),

будем называть -полиномом.

Лемма 2. Если все члены одной и той же размерности по любому то функция однородна по размерности.

Действительно, выполнив подстановку (2), получим

Простой пример показывает, что обратное неверно, если функция не приведена к нормальному виду.

Мы будем говорить, что -полином формально однороден, если все его члены имеют один и тот же вектор размерности Очевидно, если функция формально однородна, то равенство не зависит от выбора единиц в смысле соотношения (5). Кроме того, оно эквивалентно безразмерному соотношению что тривиально доказывает -теорему для -полиномов.

Многие уравнения физики формально однородны, подобно приведенным выше в примерах 1, 3, 4. Утверждали даже (хотя это неверно, см. § 65), что все настоящие физические уравнения должны быть однородны и, действительно, критерием однородности по размерности часто можно пользоваться в качестве удобного способа формальной проверки физических уравнений, если вы в них не вполне уверены. Однако в действительности дело обстоит значительно сложнее, и некоторые тонкие разграничения, которые здесь надо иметь в виду, лучше показать на примере. В связи с этим мы вновь рассмотрим пример 2 из § 61.

Если применить -теорему к соотношению (6), не зависящему от выбора единиц и рассматривать как

как , то после некоторых преобразований получим соотношение

Это соотношение в отличие от соотношения (6) не только не зависит от выбора единиц, но и однородно по размерности, так как все входящие в него члены имеют размерность нуль по всем основным величинам. Несмотря на это, доказательство П-теоремы Букингема не применимо к соотношению (6).

Следуя Бриджмену, мы можем рассмотреть также полиномиальное уравнение

И это уравнение, и соотношение (6) удовлетворяются в условиях примера 2; кроме того, функция есть -полином.

Однако уравнение (18) не является не зависящим от выбора единиц в смысле соотношения (5), и функция не формально однородная функция: подстановка переводит уравнение (18) в следующее:

Так как уравнение (18) справедливо в любой системе основных единиц («справедливо при любых единицах», хотя и зависит от выбора единиц), то уравнение (18) есть тождество относительно величин и Поэтому из уравнения (18) следуют равенства: Эти рассуждения можно обобщить следующим образом.

Теорема 3. Пусть есть -полином, и пусть соотношение «справедливо при любых единицах». Тогда условия эквивалентно системе формально однородных уравнений.

Доказательство следует из формального рассмотрения тождества

где слагаемые функции имеющие различные размерности

Применив предыдущие рассуждения к ряду Маклорена, получим доказательство Букингема П-теоремы; по-видимому, оно

равным образом применимо к ряду Лорана и к действительному ряду Дирихле внутри областей сходимости.

Наконец, мы напомним свойство «абсолютной инвариантности относительной величины», введенное Бриджменом. Согласно Бриджмену, функция переменных обладает этим свойством, если она удовлетворяет функциональному уравнению

для всех положительных

Мы приходим к следующему результату.

Теорема 4. Пусть есть положительная величина, непрерывная по основным единицам и удовлетворяющая уравнению (19), так что отношения ее числовых значений инвариантны относительно изменений основных единиц. Тогда должно удовлетворять соотношению (2).

Доказат ельство. Пусть , а все остальные переменные равны 1. При помощи перестановки можно получить формулу виде

где Индукцией по получаем для всех положительных и отрицательных целых следующее равенство:

Отсюда, полагая получаем выражения

Положим так что после подстановок получаем соотношение

Но степени двойки с рациональными показателями образуют всюду плотное множество положительных действительных чисел. Следовательно, если фактически непрерывна, если не является неизмеримой и не является всюду разрывной функцией, то для всех положительных получаем равенство

Повторив рассуждение для других индексов, мы приходим к утверждению теоремы.