§ 62. Числа Рейнольдса и Маха

В теореме 1 число основных единиц равнялось числу переменных, входящих в не зависящее от выбора единиц соотношение

При рассуждения, аналогичные доказательству теоремы 1, приводят к формулам, содержащим полезные безразмерные параметры.

Теорема 1. Всякое соотношение не зависящее от выбора единиц и содержащее основных единиц, можно записать в виде

где безразмерное произведение степеней также безразмерное произведение.

Теперь мы проиллюстрируем предыдущий результат, представляющий собой частный случай -теоремы (мы ее докажем ниже), двумя важными примерами из гидромеханики.

Пример 5. Предположим, что есть функция от не зависящая от выбора единиц при всех преобразованиях единиц длины, времени и массы по формуле (1). Безразмерные величины (число Рейнольдса) инвариантны относительно этих преобразований. Но с помощью одного из таких преобразований мы можем одновременно свести к 1; при этом переходит в Поэтому

Пример 6. Предположим, что подобным же образом определяется величинами и сжимаемостью невозмущенного потока жидкости При этом получаются безразмерные величины (размерность последней Физический смысл выражения станет понятнее, если мы вспомним, что где с — скорость звука в жидкости. Рассуждая, как в примере 5, получаем соотношение

Формулу (10) можно вывести также из теоремы 2 гл. II, если предположить, что уравнения Навье — Стокса полностью

определяют движение жидкости, ср. § 71. Аналогично формулу (11) можно вывести из уравнений Эйлера — Лагранжа, ср. § 73.

Прежде чем доказать -теорему, мы приведем еще один важный пример применения анализа размерностей.

Пример 7. Пусть имеется отнесенное к единице массы стационарное распределение энергии турбулентности между вихрями различных размеров X, так что Предположим, что это распределение определяется инерциальным механизмом передачи энергии турбулентности вихрям меньших размеров к. Очевидно, что скорость передачи энергии, приходящейся на единицу массы, имеет размерность следовательно, при любом изменении масштаба вида она умножается на величину Кроме того, чтобы сохранялось неизменным, эта скорость не должна зависеть от к. Отсюда осредненное время необходимое для превращения вихрей размера , в вихри меньших размеров, должно быть пропорционально при изменении масштаба величина имеет размерность Теперь рассмотрим спектр частот энергии: где есть волновое число. Поскольку имеет размерность а величины имеют размерность то функция имеет размерность или или Окончательно из анализа размерностей следует формула Колмогорова для распределения энергии трубулентности:

Формула Колмогорова связана с известным парадоксом бесконечной плотности полной энергии турбулентности, приходящейся на единицу объема, в случае мощных пульсаций, но мы не будем рассматривать здесь объяснение этого парадокса.