§ 83. Струи и следы в вязкой жидкости

С помощью рассуждений, аналогичных предыдущим, можно рассчитать, в приближении пограничного слоя, асимптотический профиль скоростей ламинарных вязких струй как для плоского, так и для осесимметричного течений.

Ввиду инвариантности уравнения пограничного слоя и уравнения неразрывности (12) относительно аффинных преобразований мы будем искать профили скоростей, удовлетворяющие гипотезе подобия

где у обозначает расстояние от оси х на плоскости или в пространстве. Для того чтобы уравнения (12) были инвариантны относительно преобразования (16), необходимо и достаточно, чтобы

Мы опускаем выкладки, однако заметим, что в ходе вычислений подтверждается формула группы (14 для рассмотренного в § 82 случая

Для таго чтобы определить нужно также использовать закон сохранения полного количества движения струи, равно как закон сохранения количества движения следа, рассмотренный в § 57. На плоскости этот закон сохранения эквивалентен

соотношению а в пространстве — соотношению в пред положении, что справедливо соотношение (16).

Решая предыдущие уравнения, мы получим для пространственного случая Это весьма примечательно, так как полная система уравнений Навье — Стокса инвариантна относительно найденной частной группы подобия, что впервые было получено Яцеевым и Сквайром. Уравнения Навье — Стокса в сферических координатах эквивалентны уравнению

где постоянные интегрирования. Кроме того, из естественных физических краевых условий следует, что в таком случае уравнение (17) можно легко проинтегрировать и получить следующий результат:

при произвольном а. Поведение этих решений «в большом» будет рассмотрено в § 89.

Аналогично можно рассмотреть ламинарные следы в вязкой жидкости, если и считать возмущением скорости свободного потока так чтобы и представляло собой локальную скорость. В этом случае, кроме гипотезы подобия (16), надо привлечь закон сохранения количества движения следа (§ 57), что дает для плоских следов и для следов в пространстве. Можно также вычислить и профили скоростей по-прежнему в приближении ламинарного пограничного слоя.

Примерно таким же образом исследуются турбулентные струи и следы. Однако в настоящее время общепризнано, что допущения, использующие понятие «длины перемешивания», для подобия в турбулентном случае, принятые в опубликованных теоретических работах, весьма сомнительны (см. [17], гл. XIV, § 11).