§ 83. Струи и следы в вязкой жидкости
С помощью рассуждений, аналогичных предыдущим, можно рассчитать, в приближении пограничного слоя, асимптотический профиль скоростей ламинарных вязких струй как для плоского, так и для осесимметричного течений.
Ввиду инвариантности уравнения пограничного слоя и уравнения неразрывности (12) относительно аффинных преобразований мы будем искать профили скоростей, удовлетворяющие гипотезе подобия
где у обозначает расстояние от оси х на плоскости или в пространстве. Для того чтобы уравнения (12) были инвариантны относительно преобразования (16), необходимо и достаточно, чтобы
Мы опускаем выкладки, однако заметим, что в ходе вычислений подтверждается формула
группы (14 для рассмотренного в § 82 случая
Для таго чтобы определить
нужно также использовать закон сохранения полного количества движения струи, равно как закон сохранения количества движения следа, рассмотренный в § 57. На плоскости этот закон сохранения эквивалентен
соотношению
а в пространстве — соотношению
в пред положении, что справедливо соотношение (16).
Решая предыдущие уравнения, мы получим для пространственного случая
Это весьма примечательно, так как полная система уравнений Навье — Стокса инвариантна относительно найденной частной группы подобия, что впервые было получено Яцеевым и Сквайром. Уравнения Навье — Стокса в сферических координатах эквивалентны уравнению
где
постоянные интегрирования. Кроме того, из естественных физических краевых условий следует, что
в таком случае уравнение (17) можно легко проинтегрировать и получить следующий результат:
при произвольном а. Поведение этих решений «в большом» будет рассмотрено в § 89.
Аналогично можно рассмотреть ламинарные следы в вязкой жидкости, если и считать возмущением скорости свободного потока
так чтобы
и представляло собой локальную скорость. В этом случае, кроме гипотезы подобия (16), надо привлечь закон сохранения количества движения следа (§ 57), что дает
для плоских следов и
для следов в пространстве. Можно также вычислить и профили скоростей по-прежнему в приближении ламинарного пограничного слоя.
Примерно таким же образом исследуются турбулентные струи и следы. Однако в настоящее время общепризнано, что допущения, использующие понятие «длины перемешивания», для подобия в турбулентном случае, принятые в опубликованных теоретических работах, весьма сомнительны (см. [17], гл. XIV, § 11).