§ 23. Существование и единственность

Прежде чем выяснить пригодность уравнений Навье — Стокса для описания механики реальных (несжимаемых) жидкостей, нам следовало бы убедиться в том, что с их помощью можно формулировать физически естественные краевые задачи, которые математически оказываются корректно поставленными (см. теорему 2, следствие). То есть мы должны иметь теоремы существования и единственности, которые до сих пор доказывались только при весьма ограниченных допущениях.

Что касается задачи Коши (задачи с начальными условиями), то для нее существование и единственность были доказаны для случаев плоских и осесимметричных течений в предположении конечности полной энергии. При доказательстве

используется уравнение (9), которое для плоского течения имеет упрощенный вид:

Однако в пространственном случае даже для конечной полной энергии было доказано только существование — и то лишь для ограниченных интервалов времени. Хотя предположение о конечности полной энергии, вероятно, может быть ослаблено, — пожалуй, достаточным может оказаться ограниченность скорости, . показал, что задача Коши для уравнений Навье-Стокса не является корректно поставленной, если допустить, что с увеличением расстояния от начала координат скорость возрастает линейно, а давление — квадратично.

В стационарном случае теоремы существования доказаны для обтекания препятствий произвольной формы как в плоскости, так и в пространстве, но не доказаны теоремы единственности. Если рассматриваемые стационарные течения являются единственными, то при больших числах Рейнольдса они физически неустойчивы; это явно следует из парадокса турбулентности (§ 25).