Глава III. СТРУИ, СЛЕДЫ И КАВИТАЦИЯ

§ 36. Разрывные течения

При движении реальных жидкостей с малой вязкостью обычно можно заметить, что поток стремится отделиться от твердых стенок, особенно у острых углов. Это было уже отмечено в § 8, где на рис. 2, в изображено такое течение, а также в § 29.

Рис. 9. а — прямая струя идеальной жидкости; след позади полуцилиндра в идеальной жидкости.

Математические модели подобных течений с отрывом можно довольно легко построить, используя уравнения движения Эйлера для невязкой жидкости. Основная идея состоит в том, что допускается скачкообразное изменение скорости при переходе через линию тока, что является грубым нарушением гипотезы из § 1. Простые примеры таких течений схематически изображены на рис. 9. В этих течениях все линии тока параллельны друг другу, а области равномерного течения отделены от областей стоячей воды линиями тока, при переходе через которые скорость изменяется скачком. На рис. 9, а изображена идеализированная бесконечная струя-, поступающая в область неподвижной воды из трубы произвольного поперечного сечения, а на рис. 9, б изображен равномерный поток, отрывающийся от полуцилиндра со стороны среза и обтекающий застойный след позади этого полуцилиндра. В обоих случаях давление можно считать гидростатическим.

По определению, в идеальной невяжой жидкости усилие сдвига равно нулю; следовательно, необходимое и достаточное

условие равновесия на линии тока, являющейся линией разрыва - это непрерывность давления при переходе через нее.

Если линия тока ограничивает идеализированный след или какую-либо другую область, заполненную неподвижной жидкостью («мертвая вода»), а сила тяжести учтена согласно теореме 1 из § 21, то условие непрерывности давления равносильно условию постоянства давления в рассматриваемой области. Поэтому ввиду непрерывности давления на линиях тока, ограничивающих след, давление должно быть постоянным. Линии тока, на которых скорость изменяется скачком, а давление постоянно, называются свободными линиями тока.

Рис. 10. а — круглая струя; б - след позади диска.

В силу уравнения Бернулли (8 гл. I, если все еще пренебрегать силой тяжести, скорость остается постоянной вдоль любой свободной линии тока при стационарном течении, и наоборот: Это дает чисто кинематическое краевое условие для стационарных течений, ограниченных свободными линиями. Вместе с формулами § 5 оно определяет следующую краевую задачу теории потенциала.

Задача Гельмгольца. Для заданного препятствия найти потенциал скоростей, удовлетворяющий 1) уравнению вне препятствия и вне области «мертвой воды» условию на границах препятствия и области и условию на границе области

Заметим, что последнее краевое условие нелинейно. Заметим также, что топология течения осталась неопределенной; на практике ее задают исходя из интуитивных представлений или экспериментальных данных (гипотеза (D) из § 1). Две такие топологии течения схематически изображены на рис. 10. На этих рисунках показаны «струя», вытекающая из круглого отверстия в плоской стене, и «след» за диском.

Течения, удовлетворяющие указанным условиям 1)-3), т. е. решения задачи Гельмгольца, в последующем мы будем называть течениями Гельмгольца.

В действительности же никто еще не сумел дать точную математическую трактовку указанных выше двух течений Гельмгольца, см. § 49. Однако аналогичные течения для плоского случая, т. е. струя, вытекающая из щели, и след позади плоской пластинки, можно построить довольно легко. Теория этих плоских течений Гельмгольца будет предметом исследования в § 37—391).