§ 41. Неустойчивость течений Гельмгольца

К сожалению, свободные границы струй и следов, рассмотренные Гельмгольцем и Кирхгофом, неустойчивы. Это было известно уже Гельмгольцу ([27], стр. 222), который заметил, что границы струй, вытекающих из духовых труб, закручиваются в виде периодических спиралей.

Кроме того, наблюдения показывают, что при числах Рейнольдса линии тока, которые отделяются от плоской пластинки (или другого препятствия) в движущемся потоке, вскоре прекращают свое существование в турбулентной «зоне смешения». Вследствие этого реальный след никоим образом не представляет собой неподвижную полосу «мертвой воды», простирающуюся в бесконечность, как полагал Кирхгоф. Реальные следы заполнены вихрями, которые наиболее активны

в зоне смешения, и эти вихри непрерывно выносят жидкость вниз по течению за пределы следа.

Чтобы объем жидкости, образующей след, оставался одним и тем же, необходимо, чтобы в центре следа поддерживалось обратное течение. В результате этого в потоке появляются два вихря, как это изображено на схеме рис. 13. Эти вихри поддерживаются значительным градиентом давления, они намного уменьшают давление в кильватерной зоне позади пластинки.

Ввиду такой крайней неустойчивости в реальных следах получается значительное понижение давления: давление в них гораздо меньше давления в смежных областях.

Рис. 13. Обратное течение в реальной следе.

Как следствие этого найденный Кирхгофом теоретически коэффициент сопротивления меньше, чем половина действительного значения Со, которое приблизительно равно двум. Для наклонных пластинок значение подъемной силы в модели Кирхгофа занижено даже в большей мере, особенно при углах, меньших «критического угла» (около 15°).

Если бы это было не так, то полет самолета был бы крайне затруднен. Это заметил Рэлей ([12], т. I, стр. 287, и т. III, стр. 491) уже в 1876 г. К счастью, модель Жуковского из § 8 является гораздо лучшим приближением действительной картины при малых углах атаки. (Кроме того, отрыв потока можно намного задержать при помощи соответствующей конструкции крыла, как уже было объяснено в § 29.)

Эти факты были хорошо известны Кельвину, который получил более важный результат: он показал, как можно количественно исследовать устойчивость прямолинейных линий тока в плоскопараллельном течении.

Очень большой интерес представляет случай горизонтальной границы в вертикальном поле силы тяжести. Граница разделяет две жидкости с плотностями которые движутся соответственно со скоростями и и и, как указано на рис. 14. Кельвин показал, что в этих условиях синусоидальное

возмущение граничной поверхности с длиной волны должно возрастать по экспоненциальному закону где

причем есть натяжение на граничной поверхности, ускорение силы тяжести. Его доказательство приведено в работе [7], п. 266-267.

В случае следов, когда очевидно, мы имеем Граничная поверхность в высшей степени неустойчива, скорость нарастания возмущений с очень короткой длиной волны не ограничена. Так, например, на расстоянии в длин волны, скорость нарастания определяется множителем в относительном движении.

Рис. 14. Неустойчивость по Гельмгольцу и Кельвину.

Волны, вызываемые ветром. Кельвину мы обязаны классическим применением его формулы (13) для расчета минимальной скорости ветра, требующейся для возникновения ряби на поверхности спокойной воды. Вероятно, каждому доводилось наблюдать, что при достаточно легком бризе поверхность прудов остается зеркально гладкой. Теоретически можно показать, что для равномерно дующего ветра при обычном отношении плотности воздуха к плотности воды, равном из формулы (13) следует, что возмущения всех длин волн будут безразлично устойчивы тогда и только тогда, когда

646 см/сек. В действительности волны возникают при ветрах со средней скоростью, меньшей чем этой величины; простое и убедительное объяснение этого парадокса еще предстоит найти.