§ 115. Торможение пограничного слоя

В 1850 г. Стокс ([13], т. 3, стр. 21) предположил, что «воздействие жидкости можно вычислить с весьма большой степенью точности, если рассматривать каждый элемент поверхности твердого тела как элемент некоторой бесконечной плоскости, колеблющейся с той же линейной скоростью». Хотя Стокс предложил это только для крутильных колебаний твердого тела вращения вокруг его оси, то же самое приближение было предложено и для малых поступательных колебаний. Поскольку эта идея вытекает из теории пограничного слоя Прандтля (§ 27), если пренебречь конвекцией, то вычисленную выше силу мы будем называть силой пограничного слоя.

Для синусоидальных продольных колебаний ее можно легко вычислить. Эта сила сдвинута по фазе на 135° относительно движения ([7], стр. 620). Поэтому если есть максимальное значение силы и есть усредненная скорость рассеяния энергии, то, очевидно, где максимальная скорость колебаний твердого тела 2. Но средняя скорость рассеяния

энергии в расчете на элемент поверхности площади равна стр. величине

где есть максимальная локальная тангенциальная скорость в течении Эйлера. Зная можно вычислить следовательно, силу проинтегрировав выражение (50) по поверхности тела.

Так, если — сфера радиуса а, то Интегрируя, получаем Следовательно, сила, действующая на сферу со стороны пограничного слоя, равна

Аналогичную формулу можно вывести для синусоидальных колебаний твердого тела произвольной формы.

Применив к уравнению (48) преобразование Фурье, можно также вычислить результирующую силу в случае малого движения при любом его протекании в прошлом. Однако основной вопрос таков: применимы ли полученные таким образом формулы, и его мы сейчас рассмотрим.