§ 26. Другие парадоксы симметрии

Весьма любопытно, что склонность к симметрии проявляется лишь в ограниченной области Любопытно, что и предполагаемое стремление к наименьшему действию, по-видимому, имеет примерно те же границы, поскольку расход энергии в течении Пуазейля меньше, чем в турбулентном течении.

Для того чтобы хоть немного разобраться в этих фактах, рассмотрим другие примеры из гидродинамики, в которых необоснованное применение гипотезы из § 1 также приводит к неправильным результатам.

Один из интересных примеров представляет собой течение в трубах с некруговым поперечным сечением. При малых в этом случае опять-таки наблюдается параллельное течение, для которого можно вычислить профиль скоростей ([7], § 332) и в котором принцип наименьшего действия остается в силе. При больших течение снова становится турбулентным и даже статистически не является параллельным: существуют значительные «вторичные течения» в углах трубы.

Другой случай был изучен Дж. Тейлором в его классической работе. Рассмотрим вязкую жидкость, находящуюся между двумя длинными соосными цилиндрами, которые вращаются в противоположных направлениях с постоянными угловыми скоростями со и о соответственно. Описанное течение является (приближенно) симметричным относительно переносов вдоль и вращения вокруг оси цилиндров, а также не зависит от времени. Имеется в точности одно решение системы (3), (4), (6), обладающее такой симметрией; оно носит название «течения Куэтта».

При малых такое течение Куэтта наблюдается экспериментально. При больших числах Рейнольдса вместо течения Куэтта появляется несимметричное, однако нетурбулентное течение. Грубо говоря, сохраняется симметрия во времени, но не в пространстве.

Далее, рассмотрим маленький пузырек воздуха, поднимающийся в стоячей воде под действием собственной плавучести. Благодаря поверхностному натяжению он принимает форму, близкую к сферической, и, во всяком случае, на него не действует ни одна сила, которая не была бы симметричной относительно вертикальной оси, проходящей через центр пузырька. Следовательно, в силу симметрии, пузырек должен был бы

подниматься вертикально. Однако, и это поразительный факт, при такой пузырек прокладывает себе путь вверх по вертикальной сдирали!

Аналогичное явление имеет место в следе за круговым цилиндром, который движется в потоке параллельно своей образующей. В диапазоне чисел Рейнольдса эта зона содержит чередующиеся вихри противоположных знаков (вихревая дорожка Бенара — Кармана); это явление будет проанализировано в § 56.

На первый взгляд может показаться, что подобные примеры противоречат метафизическому принципу Лейбница достаточного основания 2), а именно нашей гипотезе (С). Более глубокий подход состоит в том, что, хотя симметричные причины обусловливают симметричные явления, почти симметричные причины не обязательно приводят к почти симметричным явлениям: симметричная задача может не иметь ни одного устойчивого симметричного решения. Такая возможность и является действительным источником «парадоксов симметрии» (наблюдаемых нарушений гипотезы (С) из § 1).

Далее отметим, что проанализировать устойчивость решения гораздо труднее, чем получить само решение, поэтому почти наверняка решения будут получаться задолго до того, как будет устаноглена их неустойчивость. В силу этого можно предвидеть, что и и будущем поток парадоксов симметрии не прекратится.