Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 111. Сведения из теории групп ЛиТеперь мы выведем формулу для геодезической кривизны однопараметрических подгрупп произвольного риманового группового многообразия. Этот результат, между прочим, представляет интерес и в геометрии групп Ли — это еще одно свидетельство того, что вся математика по существу едина. Объем книги не позволяет изложить теорию групп Ли достаточно полно, для того чтобы все подробности вывода были ясны. Все же хочется дать достаточно сведений для того, чтобы можно было уяснить себе смысл окончательной формулы, по крайней мере в случае евклидовой группы. Если твердое тело движется с единичной скоростью параллельно оси Если твердое тело вращается с единичной угловой скоростью (один радиан за секунду) вокруг оси символом Лагранжа (линейным дифференциальным оператором) Итак, в соответствии с шестью степенями свободы движения твердого тела мы будем иметь шесть бесконечно малых преобразований, которые можно записать в виде
Им соответствуют векторные поля (поля скоростей) Результат действия поля скоростей (бесконечно малого преобразования)
Каноническими параметрами, например евклидовой группы, называются параметрические представления «твердых» движений при помощи векторов, так что движение твердого тела, которому соответствует вектор
которое выражает полное перемещение тела при воздействии на него поля скоростей Наконец, скобка Пуассона, или коммутатор
Известно, что этот предел представляет собой дифференциальный оператор
который можно легко вычислить. Так, например, в случае евклидовой группы получим тождества:
С помощью очевидного тождества Интересно отметить, что в случае бесконечно малых вращений Заметим, что в тождествах (35) всегда справедливо соотношение
где Мы надеемся, что приведенные только что объяснения позволят понять излагаемые ниже результаты, даже несмотря на то, что их доказательства может понять лишь тот, кто уже знаком с теорией групп Ли.
|
1 |
Оглавление
|