§ 111. Сведения из теории групп Ли

Теперь мы выведем формулу для геодезической кривизны однопараметрических подгрупп произвольного риманового группового многообразия. Этот результат, между прочим, представляет интерес и в геометрии групп Ли — это еще одно свидетельство того, что вся математика по существу едина.

Объем книги не позволяет изложить теорию групп Ли достаточно полно, для того чтобы все подробности вывода были ясны. Все же хочется дать достаточно сведений для того, чтобы можно было уяснить себе смысл окончательной формулы, по крайней мере в случае евклидовой группы.

Если твердое тело движется с единичной скоростью параллельно оси то скорость любой частицы тела равна (1, 0, 0). Поэтому если есть произвольная функция, определенная во всем пространстве, то скорость изменения значения этой функции по отношению к такой частице равна Оператор определенный таким образом, называется символом Лагранжа и выражает бесконечно малое преобразование, связанное с поступательным движением твердого тела в направлении, параллельном оси

Если твердое тело вращается с единичной угловой скоростью (один радиан за секунду) вокруг оси частица с координатами будет иметь скорость ( Скорость изменения функции относительно данной частицы равна Поэтому бесконечно малое преобразование, связанное с вращением относительно оси выражается

символом Лагранжа (линейным дифференциальным оператором)

Итак, в соответствии с шестью степенями свободы движения твердого тела мы будем иметь шесть бесконечно малых преобразований, которые можно записать в виде

Им соответствуют векторные поля (поля скоростей) ,

Результат действия поля скоростей (бесконечно малого преобразования) в течение времени обозначается через таким образом, обозначает поворот около оси на два радиана. Если то будет обозначать преобразование, обратное преобразованию Таким образом, для всех действительных и имеем тождество

Каноническими параметрами, например евклидовой группы, называются параметрические представления «твердых» движений при помощи векторов, так что движение твердого тела, которому соответствует вектор представляет собой конечное преобразование

которое выражает полное перемещение тела при воздействии на него поля скоростей в течение единицы времени.

Наконец, скобка Пуассона, или коммутатор двух бесконечно малых преобразований определяется как двойной предел

Известно, что этот предел представляет собой дифференциальный оператор

который можно легко вычислить. Так, например, в случае евклидовой группы получим тождества:

С помощью очевидного тождества , из которого, в частности, следует и циклических перестановок индексов в тождествах (35) можно вычислить также и все другие скобки Пуассона

Интересно отметить, что в случае бесконечно малых вращений скобка есть просто внешнее, или векторное, произведение Опять-таки, если (или эквивалентные перестановочны, так что то и наоборот.

Заметим, что в тождествах (35) всегда справедливо соотношение

где соответствующие постоянные. Основная теорема Ли заключается в том, что соотношения, аналогичные (36), справедливы для любой конечно-параметрической группы. Постоянные с к называются структурными постоянными группы и определяют группу с точностью до изоморфизма.

Мы надеемся, что приведенные только что объяснения позволят понять излагаемые ниже результаты, даже несмотря на то, что их доказательства может понять лишь тот, кто уже знаком с теорией групп Ли.