§ 63. П-теорема
Не приводя больше примеров, перейдем сразу к доказательству общей П-теоремы Ваши и Букингема, которую можно сформулировать следующим образом:
Теорема 2. Пусть положительные переменные
при всех преобразованиях по формуле (1) основных единиц
изменяются согласно формуле (2). Пусть
геометрическое место одно и то же для всех
следовательно, соотношение (12) эквивалентно, например, зависимости
Таким образом, теорема доказана.
Историческая справка. Имеются некоторые разногласия относительно авторства П-теоремы. Ваши получил этот результат в 1892 г., но он не сформулировал своих исходных допущений. Он указал использованный выше метод, но его рассуждения настолько загадочны, что никто не воспроизводил его доказательства. Букингем
дал в 1914 г. первое доказательство П-теоремы, но только для частного случая, когда функцию
можно разложить в ряд Маклорена, и до недавних пор это было единственное общепринятое доказательство. Недавно Рябушинский и А. Мартино-Лягард [52], разъяснив соображения Ваши, получили гораздо более общее доказательство.
Приведенное здесь доказательство дает возможность более отчетливо выявить ограничения, накладываемые на величины
и показать используемый матричный аппарат.