§ 63. П-теорема
Не приводя больше примеров, перейдем сразу к доказательству общей П-теоремы Ваши и Букингема, которую можно сформулировать следующим образом:
Теорема 2. Пусть положительные переменные 
при всех преобразованиях по формуле (1) основных единиц 
изменяются согласно формуле (2). Пусть 
геометрическое место одно и то же для всех 
следовательно, соотношение (12) эквивалентно, например, зависимости
Таким образом, теорема доказана.
Историческая справка. Имеются некоторые разногласия относительно авторства П-теоремы. Ваши получил этот результат в 1892 г., но он не сформулировал своих исходных допущений. Он указал использованный выше метод, но его рассуждения настолько загадочны, что никто не воспроизводил его доказательства. Букингем 
дал в 1914 г. первое доказательство П-теоремы, но только для частного случая, когда функцию 
можно разложить в ряд Маклорена, и до недавних пор это было единственное общепринятое доказательство. Недавно Рябушинский и А. Мартино-Лягард [52], разъяснив соображения Ваши, получили гораздо более общее доказательство.
Приведенное здесь доказательство дает возможность более отчетливо выявить ограничения, накладываемые на величины 
и показать используемый матричный аппарат.
определяемой формулами (2). Тогда всякое не зависящее от выбора единиц соотношение вида
степеней 
имеет неособый 
порядка. Переставляя 
и 
мы можем добиться того, чтобы в этот минор входили лишь 
(Физически это означает, что другие основные единицы не являются независимыми.) Тогда всякий 
при 
есть линейная комбинация 
векторов 
новых безразмерных переменных 
формулами
в виде
при 
преобразование (2) независимых переменных взаимно однозначно в большом. Поэтому соотношение 
эквивалентно (т. е. определяет то же самое геометрическое место) соотношению 
следовательно, 
также не зависит от выбора единиц. Но так как 
при 
неособый, то 
для любых положительных 
при подходящем выборе можно разрешить относительно чисел 
А так как соотношение 
не зависит от выбора единиц, то определяемое им
