§ 63. П-теорема

Не приводя больше примеров, перейдем сразу к доказательству общей П-теоремы Ваши и Букингема, которую можно сформулировать следующим образом:

Теорема 2. Пусть положительные переменные при всех преобразованиях по формуле (1) основных единиц изменяются согласно формуле (2). Пусть

ранг матрицы определяемой формулами (2). Тогда всякое не зависящее от выбора единиц соотношение вида

эквивалентно условию вида

при подходящим образом выбранных безразмерных произведениях степеней

Пояснение. Первая фраза соответствует предположениям I и II из § 60. Предположения III и IV обобщены формулой (12).

Доказательство. Согласно определению, матрица имеет неособый минор порядка. Переставляя и мы можем добиться того, чтобы в этот минор входили лишь (Физически это означает, что другие основные единицы не являются независимыми.) Тогда всякий вектор при есть линейная комбинация векторов

Теперь определим новых безразмерных переменных формулами

Определим также новую функцию в виде

очевидно, что в формуле при

В «октанте» преобразование (2) независимых переменных взаимно однозначно в большом. Поэтому соотношение эквивалентно (т. е. определяет то же самое геометрическое место) соотношению следовательно, также не зависит от выбора единиц. Но так как минор матрицы при неособый, то систему линейных уравнений для любых положительных при подходящем выборе можно разрешить относительно чисел А так как соотношение не зависит от выбора единиц, то определяемое им

геометрическое место одно и то же для всех следовательно, соотношение (12) эквивалентно, например, зависимости

Таким образом, теорема доказана.

Историческая справка. Имеются некоторые разногласия относительно авторства П-теоремы. Ваши получил этот результат в 1892 г., но он не сформулировал своих исходных допущений. Он указал использованный выше метод, но его рассуждения настолько загадочны, что никто не воспроизводил его доказательства. Букингем дал в 1914 г. первое доказательство П-теоремы, но только для частного случая, когда функцию можно разложить в ряд Маклорена, и до недавних пор это было единственное общепринятое доказательство. Недавно Рябушинский и А. Мартино-Лягард [52], разъяснив соображения Ваши, получили гораздо более общее доказательство.

Приведенное здесь доказательство дает возможность более отчетливо выявить ограничения, накладываемые на величины и показать используемый матричный аппарат.