§ 52. Неустойчивость по Тейлору

Когда гравитационный член в формуле (13), очевидно, вызывает неустойчивость. Эта неустойчивость просто-напросто такая же, как у воды в ведре, перевернутом вверх дном!

Так как поступательное движение области с ускорением а оказывает действие, эквивалентное 3) наложению поля тяготения

то в ускоренном течении предыдущий результат можно интерпретировать следующим образом. Плоская поверхность раздела двух жидкостей с плотностями неустойчива, когда имеется ускорение, направленное от более легкой жидкости к более тяжелой. Такая неустойчивость называется неустойчивостью по Тейлору.

Двумерная неустойчивость возмущений первоначально плоской поверхности раздела адекватно описывается формулой (13), пока амплитуда возмущений остается бесконечно малой. При начальных синусоидальных возмущениях наиболее заметным признаком нелинейной тейлоровой неустойчивости является возникновение закругленных на концах столбиков, разделенных падающими струями. Любопытно, что наличие этих столбиков приближенно согласуется с тем анализом подъема плоских пузырьков, который кратко изложен в § 51.

Тейлорова неустойчивость весьма заметно проявляется в пульсации сферических пузырьков. Такие пузырьки играют главную роль как в кавитационной эрозии (§ 42), так и в подводных взрывах. В предположении сферической симметрии (снова гипотеза ) Рэлей получил простые дифференциальные уравнения для радиуса как функции времени, применимые к обоим типам пузырьков. Однако, если возмущения сферической границы разложить по функциям Лежандра то можно показать, что амплитуды возмущений удовлетворяют уравнению

(Это уравнение отличается от уравнения (13) для плоского случая членом Пузырьки, возникающие при подводном взрыве, сначала чрезмерно расширяются, когда вода выталкивается наружу, а затем снова сужаются примерно до начального радиуса.

Вблизи минимального радиуса происходит резкое замедление течения внутрь пузырька, т. е. происходит ускорение в направлении более плотной жидкости. Это, очевидно, делает сферическую поверхность раздела неустойчивой по Тейлору, — обстоятельство, которое очень ослабляет последовательные пульсации пузырька.

Случай пузырька, заполненного паром и сжимающегося «в точку», как предполагается при идеализированной

кавитационной эрозии, менее ясен, так как тут всегда имеется ускорение, направленное от более плотной жидкости к менее плотной. Тем не менее и в этом случае имеем неустойчивость из-за отрицательного торможения, так как по существу

В предшествующих рассуждениях мы не только пренебрегали многими физическими переменными, которые могут иметь значение (например, поверхностным натяжением), но и ограничивались бесконечно малыми возмущениями. Хотя достигнут некоторый успех в исследовании возмущений конечной амплитуды, в нелинейной теории пока еще не все понятно.