§ 91. Случай вязкой жидкости

Интересно было бы определить самое общее течение невязкой жидкости, удовлетворяющее условию подобия (48), и проверить течение на инвариантность относительно подгрупп группы подобия. Вместо этого мы в виде компенсации определим несжимаемые вязкие течения, удовлетворяющие условию (48).

Как и в § 3, уравнения состояния и неразрывности для несжимаемого течения, взятые вместе, эквивалентны одному условию Так как не обращаются в нуль, то это равносильно равенству

из которого исключено

Остается рассмотреть уравнения движения По теореме 1 из § 21 силой тяжести можно пренебречь. С учетом этого и после непосредственной подстановки условия (48) в уравнения Навье — Стокса из гл. II, формула (3), мы получим соотношения:

Следовательно, дифференциальные уравнения Навье — Стокса можно записать, разделив переменные, в виде

где

и

Очевидно, что условие (51) эквивалентно требованию, чтобы векторы принадлежали взаимно ортогональным подпространствам. В зависимости от числа линейно независимых соотношений, которым удовлетворяет -подпространство», натянутое на векторы может, как видим, иметь 1, 2, 3 и 4 измерения. Сначала мы рассмотрим тот невырожденный случай, когда все пропорциональны, так что -подпространство» имеет одно измерение.

Мы можем сделать пропорциональным положив Как и раньше, наличие равенства (постоянные множители можно опустить) эквивалентно пропорциональности Остается еще условие, что должно быть пропорционально или должно выполняться равенство для некоторой постоянной Так как то это условие равносильно тому, что или Надлежащим выбором начала координат времени последнее условие можио свести к следовательно, к условиям

Итак, в поисках более общего типа симметричных решений мы снова снизили число независимых переменных на единицу! Рассматривать соотношения (52) сами по себе здесь мы не будем.

Это соответствует инвариантности уравнений Навье-Стокса относительно преобразования и при условии, что число Рейнольдса не изменяется, так что Решения (52) — в точности те течения, которые инвариантны относительно этой группы.

Уравнение (51) имеет также «вырожденные» решения. Например, рассмотрим течения, параллельные оси тогда можно записать равенства:

В этом случае условие (50) всегда удовлетворяется. Так как то из следует Большое значение имеет то, что при всех поэтому для нет ограничений. Остается удовлетворить условию которое, поскольку зависит от зависит от сводится к равенству соотношению

Последнее соотношение определяет хорошо известное экспоненциальное затухание параллельных вязких течений, например, течения в двумерном канале .