§ 113. Приложения

Пользуясь только общей формулой (44 и соотношениями коммутативности (35) евклидовой группы, можно вывести выражение для внешней силы, которая необходима, чтобы поддерживать стационарное поступательное или вращательное движение в идеальной жидкости. (Сила, с которой жидкость действует на тело, конечно, равна этой силе по величине и противоположна по направлению.) Так, при стационарном переносе Ей вдоль оси 1 эта сила равна

Аналогично при стационарном вращении с угловой скоростью в один радиан за секунду вокруг оси требуется сила

Это классические формулы Кирхгофа и Кельвина; заметим, что формула (45) сводится к 0 (стационарное движение при отсутствии внешних сил), если тензор кинетической энергии поступательногодегшешядиагонализирован. Иначе говоря, стационарное поступательное движение при отсутствии внешних сил (теоретически) возможно вдоль главных осей тензора кинетической энергии поступательного движения и ни в каком другом случае.

Несмотря на то что предшествующие формулы сугубо теоретические и что стационарное поступательное движение при отсутствии внешних сил физически невозможно, формула (45) дает классическое объяснение стремлению плоской пластинки стать широкой стороной перпендикулярно к течению. Нетрудно показать с помощью (45), что устойчивым будет стационарное поступательное движение вдоль главной оси, соответствующей максимальному компоненту тензора кинетической энергии. Этот вывод качественно согласуется с экспериментом.

В качестве другого приложения общей формулы (44 мы можем отметить, что составляющая обобщенной силы равна нулю в любом направлении, соответствующем бесконечно малому преобразованию, перестановочному с рассматриваемым стационарным движением. Это следует из того, что если то равно нулю.

Указанное свойство дает теоретико-групповое обоснование парадокса Даламбера. Стационарное поступательное движение вдоль любой оси не вызывает (теоретически) никакого противодавления, а только вращательный момент, поскольку все поступательные движения перестановочны. Так как поступательные и вращательные движения относительно одной и той же оси перестановочны, поступательное движение не вызывает и никакого вращательного момента вокруг оси переноса, — ось момента перпендикулярна оси поступательного движения.

То же самое рассуждение непосредственно приводит к тому, что можно назвать парадоксом пропеллера. При винтовом движении вокруг оси (в классической теории) нет ни противодавления в направлении этой оси, ни вращательного момента относительно нее! Поэтому для винта самолета или для какого-либо другого предмета, обладающего -кратной вращательной симметрией относительно этой оси все компоненты силы (теоретически) равны нулю.

Как показано в [2], гл. V, § 14, приведенные результаты можно обобщить на случай воображаемых абсолютно твердых тел в идеальной жидкости, заполняющей неевклидово пространство. Однако мы не будем приводить этого здесь, поскольку физическое значение таких результатов далеко не ясно. Основное же состоит в том, что классическую теорию движения абсолютно твердого тела в идеальной жидкости можно рассматривать как часть теории Ли однородных пространств.