§ 80. Симметричные решения уравнения теплопроводности

Метод «поиска симметричных решений» применим к континуальной физике вообще. Совсем просто его применение к уравнению диффузии; и это мы рассмотрим прежде всего. Для плоско-параллельного течения уравнения Навье — Стокса сводятся к уравнению диффузии, но наиболее известно применение уравнения диффузии в теории теплопроводности. Ввиду того что переносу тепла и переносу количества движения в вязкой жидкости соответствует одна и та же группа симметрии, в некоторых задачах, относящихся и к теплопроводности и к конвекции, можно применять аналогичные рассуждения. Например, можно рассматривать задачи с изменением фазы на подвижных границах (задача Стефана) или задачи о росте сферических пузырьков пара в равномерно перегретой воде.

Итак, рассмотрим диффузию тепла из точечного источника в среде с постоянной теплопроводностью к. Уравнение теплопроводности для твердых тел имеет вид

где температура в точке в момент времени

Ввиду сферической симметрии задачи будем искать решение вида где Этим исчерпывается использование в задаче чисто геометрической симметрии явления. Но тут еще имеется физическая симметрия в том смысле, что дифференциальное уравнение (1) инвариантно относительно группы преобразований пространства, времени и температуры

зависящей от трех произвольных параметров Этой группой обобщается классический закон времени, согласно которому

время, требующееся для распространения тепла, пропорционально квадрату расстояния. При любом положительном числе трехпараметрическая группа (1 содержит однопараметрическую подгруппу, определяемую соотношениями

Так как то эта подгруппа сохраняет следующее краевое условие Мы будем искать решения уравнения (1), инвариантные относительно подгрупп вида (2).

В рассматриваемом случае, ввиду того что группа (2) состоит из скалярных умножений, можно применить -теорему. Переменные инвариантны относительно преобразований (2). Поэтому, согласно -теореме, всякое решение (I), инвариантное относительно преобразований (2), должно иметь вид

В § 89 мы покажем, что уравнение (1) всегда имеет решения симметричной формы (3) (автомодельные), по крайней мере локально.

Пока мы ограничимся исследованием одного частного случая. Подставляя соотношение (3) в уравнение (1) и деля на подходящую степень величины получаем уравнение

Переход к переменной (которая безразмерна в обычном смысле, т. е. инвариантна относительно группы преобразований (22) из гл. IV) дает более простые выражения:

После подстановки последнее уравнение переходит в конфлуэнтное гипергеометрическое уравнение. Однако не это главное; главное то, что решения уравнения (1) можно найти, интегрируя обыкновенное дифференциальное уравнение, что всегда можно проделать численно.

Не все «симметричные» решения уравнения (1) [т. е. (4)] представляют одинаковый физический интерес. Преимущественно интересны решения, для которых при так что

Нас также интересует полное количество тепла, которое пропорционально интегралу а следовательно, и величине атлп или

В частности, интересе» случай, когда полное количество тепла постоянно, что соответствует распространению ограниченного количества тепловой энергии из начала координат. Тогда если положить то уравнение (4) после приведения подобных членов сводится к виду

Уравнение (4 можно проинтегрировать в замкнутом виде. Чтобы получить функции должны стремиться к нулю при следовательно, Мы получили решение Лапласа

которое в большинстве учебников выводится с помощью преобразования Фурье.

Другой интересный случай — это случай точечного источника, выделяющего тепло (за счет химического или радиоактивного процесса) с постоянной скоростью начиная с момента Здесь т. е. вследствие чего уравнение (4) принимает вид

Интегралы такого вида конфлуэнтного гипергеометрического уравнения (они были получены другим путем) могут быть выражены в замкнутом виде. Однако это не столь важно, как то обстоятельство, что полученное дифференциальное уравнение является обыкновенным.