Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике § 80. Симметричные решения уравнения теплопроводностиМетод «поиска симметричных решений» применим к континуальной физике вообще. Совсем просто его применение к уравнению диффузии; и это мы рассмотрим прежде всего. Для плоско-параллельного течения уравнения Навье — Стокса сводятся к уравнению диффузии, но наиболее известно применение уравнения диффузии в теории теплопроводности. Ввиду того что переносу тепла и переносу количества движения в вязкой жидкости соответствует одна и та же группа симметрии, в некоторых задачах, относящихся и к теплопроводности и к конвекции, можно применять аналогичные рассуждения. Например, можно рассматривать задачи с изменением фазы на подвижных границах (задача Стефана) или задачи о росте сферических пузырьков пара в равномерно перегретой воде. Итак, рассмотрим диффузию тепла из точечного источника в среде с постоянной теплопроводностью к. Уравнение теплопроводности для твердых тел имеет вид
где Ввиду сферической симметрии задачи будем искать решение вида
зависящей от трех произвольных параметров время, требующееся для распространения тепла, пропорционально квадрату расстояния. При любом положительном числе
Так как В рассматриваемом случае, ввиду того что группа (2) состоит из скалярных умножений, можно применить
В § 89 мы покажем, что уравнение (1) всегда имеет решения симметричной формы (3) (автомодельные), по крайней мере локально. Пока мы ограничимся исследованием одного частного случая. Подставляя соотношение (3) в уравнение (1) и деля на подходящую степень величины
Переход к переменной
После подстановки Не все «симметричные» решения уравнения (1) [т. е. (4)] представляют одинаковый физический интерес. Преимущественно интересны решения, для которых
Нас также интересует полное количество тепла, которое пропорционально интегралу В частности, интересе» случай, когда полное количество тепла постоянно, что соответствует распространению ограниченного количества тепловой энергии из начала координат. Тогда
Уравнение (4 можно проинтегрировать в замкнутом виде. Чтобы получить
которое в большинстве учебников выводится с помощью преобразования Фурье. Другой интересный случай — это случай точечного источника, выделяющего тепло (за счет химического или радиоактивного процесса) с постоянной скоростью начиная с момента
Интегралы такого вида конфлуэнтного гипергеометрического уравнения (они были получены другим путем) могут быть выражены в замкнутом виде. Однако это не столь важно, как то обстоятельство, что полученное дифференциальное уравнение является обыкновенным.
|
1 |
Оглавление
|