§ 1.8. Уравнения оптимизации при ограничениях на энергетику

В некоторых динамических системах (примером их служат самолет, ракета, корабль с двигателем) процесс управления сопровождается уменьшением скалярной величины которую можно назвать энергетикой системы. В момент система располагает некоторой начальной энергетикой далее, эйергетика уменьшается в моменты, когда Если в некоторый момент то, далее, при и динамическая система не управляется на этом интервале.

Связь можно представить уравнением

где заданная положительная функция, описывающая удельный расход энергетики и такая, что

Пусть если если Вектор управления представим в виде

где вектор, который надо определить при оптимизации с учетом располагаемой энергетики, постоянный между моментами получения информации.

Приведем примеры функций

а) Пусть масса топлива, затрачиваемого на управление движением в космическом пространстве центра масс ракеты с жидкостным реактивным двигателем или электрическим реактивным двигателем малой тяги; в обоих случаях и — вектор тяги двигателя. В первом случае удельный расход топлива во втором случае Здесь модуль вектора тяги.

б) Пусть масса топлива, затрачиваемого на движение в атмосфере аппарата с турбореактивным двигателем, с вектором тяги и. Удельный расход зависит как от так и от фазовых координат аппарата (высоты, скорости, угла атаки). Вид функции определяется тяговыми характеристиками двигателя.

Если величина настолько велика, что исследование гарантирует при произвольном допустимом управлении за время то ограничения на энергетику отсутствуют и справедливы приведенные выше уравнения синтеза. Однако в общем случае выбор оптимального управления надо проводить с учетом ограниченной энергетики.

В соответствии с при любом и является случайным процессом, так как зависит от случайных векторов Поэтому случаен первый момент выполнения условия а значит, и случаен момент, начиная с которого момент прекращения управления динамической системой. В этом — основная специфика управления при учете энергетики.

Рассмотрим динамическую систему, вектор фазовых координат которой получен объединением компонент вектора х и величины Система описывается уравнениями

в которых, и играет роль вектора управления. Будем считать, что в моменты измеряются точно Как следует из леммы 1.2, оптимальные векторы

минимизирующие терминальный средний риск, имеют вид

и определяются из уравнений

причем

Условные плотности вероятностей определяются (при фиксированном векторе системой уравнений (1.73), (1.74), рассматриваемых при начальных условиях и статистически учитывают возможность прекращения управления внутри интервала Как и следовало ожидать, минимальный терминальный риск зависит от начальной энергетики убывающая функция положительного аргумента (чем больше располагаемая энергетика, тем управлением можно сделать меньшим средний риск). С увеличением функция стремится к среднему риску, получаемому без ограничений на энергетику. Из физических соображений ясно, что для системы, управления которой определены в некоторых ограниченных областях должны существовать некоторые обеспечивающие для данных достижение минимальных средних рисков которые нельзя уменьшить увеличением располагаемой энергетики Поэтому при величины равны величинам из уравнений следовательно, существует такое, что

Рассмотрим встречающийся в ракетной технике случай, когда

В этом случае можно уменьшить размерность интегралов, входящих в уравнения оптимизации (1.76)-(1.78).

При выводе лемм 1.1, 1.2 и следующих; из них рекуррентных уравнений оптимизации не использовалось предположение о постоянстве векторов на интервалах Поэтому приведенные ранее уравнения применимы и если при Будем выбирать оптимальные управления из функций вида при при Из-за (1.80) при фиксированном векторе не случайна функция и не случаен момент возможного прекращения управления. Положим

Так как то вектор должен удовлетворять условию

Уравнения оптимизации при оговоренном выше виде допустимых функций имеют вид

(см. скан)

В результате получим

Уравнения оптимизации при использовании критерия общего вида среднего риска выписываются аналогично.

Обсудим теперь задачу получения уравнений оптимизации с учетом энергетики при неполной информации о фазовых координатах. В соответствии с изложенным ранее для системы (1.73), (1.74) и информации вида (1.2) должны быть найдены рекуррентные уравнения для вектора достаточных статистик вектора (величины считаем измеряемыми без ошибок; нетрудно избавиться от этого ограничения): Уравнения оптимизации получим, если в (1.76) — (1.78) заменить на аналогичные уравнения при этой замене получим из уравнений

В некоторых задачах энергетика может быть вектором, составленным из нескольких положительных величин, каждая из которых; уменьшается, если не равна нулю соответствующая часть компонент вектора управления.

При управлении ракетой в космическом пространстве часто маршевый двигатель ракеты, направление вектора тяги которого неподвижно относительно ракеты, и двигатели стабилизации, поворачивающие этот вектор в нужном направлении, работают на разных видах топлива. Массы обоих видов топлива образуют вектор энергетики. Обобщение уравнений оптимизации на случай векторной энергетики очевидно.