§ 9.3. Адаптивный алгоритм оценивания в нормальном приближении

1. Пусть дана линейпая стохастическая система

для которой точно неизвестны некоторые элементы матрицы А размерности . В момент производятся измерения моделей 1 или 2. Алгоритм НЛРФ в нормальном приближении должен по результатам измерений оценить векторы и неизвестные элементы матрицы А (задача идентификации). Такой алгоритм НЛРФ называется «адаптивным». Он может сделать процесс оценивания векторов более «надежным» по сравнению с оцениванием алгоритмом ОРФ, рассчитанным лишь на учет некоторых номинальных параметров системы.

Матрицу А запишем в виде

где известные матрицы, компоненты вектора неизвестных параметров. Матрицей следует считать матрицу коэффициентов линейной системы, соответствующую априорным м. о. неизвестных параметров, при которых, например, линейная система устойчива. Поэтому далее можно положить равными нулю априорные м. о. величин Если все элементы матрицы А точно неизвестны, то каждой матрицы один элемент равен 1, а остальные равны 0. Нелинейная стохастическая система имеет вид

Обозначим

Из (2.126), (2,127) найдем, что уравнения эволюции имеют вид

где столбец матрицы Эти уравнения численно интегрируются от до при начальных условиях, получаемых в результате оценки в нормальном приближении векторов в момент

где компоненты векторов образуют вектор оценок (вектор условного м. о. вектора, составленного из компонент векторов где блоки — к. м. ошибок оценки в нормальном приближении. После интегрирования получим параметры априорного

распределения векторов

Пусть векторы измерений имеют вид . Тогда вектор составленный из компонент векторов оценок векторов матрица составленная из блоков найдутся из уравнений (9.3), (9.4), где

Первый шаг алгоритма требует задания априорной к. м. вектора и априорных дисперсий компонент вектора Некоторые коэффициенты А могут быть функциями одних и тех же неизвестных параметров. При учете этих функциональных зависимостей априорная к. м. вектора не будет диагональной.

При решении задачи идентификации вектора обычно считают, что измерения некоторых компонент векторов или линейных комбинаций этих компонент производятся без ошибок. В этом случае надо считать, что Понижение размерностей векторов и матриц в формулах вида (9.3), (9.4) с до осуществляется применением описанного в § 4.16 линейного преобразования.

2. При записи уравнений идентифицируемой системы в виде (9.7) от неизвестных параметров может зависеть и матрица Уравнения эволюции легко записываются из (2.126), (2.127) и в этом случае. При этом уравнения эволюции для (уравнения не изменятся, так как равен нулю вектор в (2.116). Это сразу следует из формулы (2.117) при замене на лишь для но при

Проиллюстрируем описанную ситуацию на примере идентификации постоянной времени инерционного звена порядка, возмущаемого -белым шумом единичной

интенсивности:

или

где номинальная величина постоянной времени. Уравнения эволюции имеют вид

Пусть в моменты измеряется точно выход инерционного звена: Начальные условия для интегрирования системы (9.12):

В соответствии с (4.2), (4.3)

где

На рис. 9.1 в функции числа измерений представлены две реализации случайных процессов относительных ошибок оценки рассчитанные при условиях Из рис. 9.1 вцдно, что, несмотря на большую (порядка ±50%) ошибку в постоянной времени, относительная ошибка ее оценки быстро (через 10—15 измерений) устанавливается на уровне 1—4% от величины В данной реализации оценка является смещенной.

3. Попытаемся построить в нормальном приближении адаптивный алгоритм при неточно известных статистических характеристиках случайных ошибок измерений и случайных ошибок возмущений. Для упрощения формул положим, что скаляры Здесь параметр, который точно неизвестен, Между моментами

измерений уравнения эволюции имеют вид

Рис. 9.1. (см. скан)

Вектор составленный из компонент вектора и величины оценок компонент вектора и параметра и матрица составленная из блоков найдутся из (9.3), (9.4), если учесть, что и

Матрица определяется (9.11). Из (9.4) следует

Вектор и параметр независимы. Поэтому как видно из (9.14),

Но из (9.16) при найдем, что

Рассуждая далее по индукции, получим

Из (9.3)

и величина из (9.15) примет вид

Алгоритм НЛРФ в этом случае в точности совпадает с алгоритмом ОРФ Калмана, в котором дисперсия шумов принимается равной второму априорному моменту неизвестного параметра Этот параметр алгоритмом НЛРФ в нормальном приближении не оценивается. Аналогичный вывод получается и при попытке идентифицировать параметры, определяющие матрицу в (9.7). В этом нетрудно убедиться, записав, например, где неизвестный параметр, и рассмотрев, аналогично вышеизложенному, уравнения эвлоюции и уравнения вида (9.3), (9.4). Тогда получим, что равенства (9.18), (9.19) справедливы и при попытке идентифицировать параметры матрицы

Итак, рассмотрения в нормальном приближении недостаточно для построения адаптивного алгоритма при неизвестных статистических характеристиках ошибок измерений и случайных возмущений динамической системы.