§ 4.2. Параметры условного нормального распределения

Простой вывод алгоритмов ОРФ для различных моделей векторов измерений (векторов обратной связи) целесообразно, как уже упоминалось, основывать на формулах для параметров условного нормального распределения.

1. Предварительно изложим некоторые свойства нормального распределения, используемые в этой главе.

1) Пусть случайный вектор х имеет вектор м. о. х, к. м. причем В этом случае к. м. С и

центрированный случайный вектор можно представить в виде

где вектор пеособейиая к. м. вектора В — некоторая матрица Действительно, в матрице С можно выделить неособенную матрицу ранга и расположить ее в левом верхнем углу матрицы С. Но тогда строки находящейся под ней прямоугольной матрицы являются линейными комбинациями строк матрицы и матрица имеет вид где В — матрица, составленная из коэффициентов этих линейных комбинаций. Так как С симметрична, то матрица в правом верхнем углу матрицы С равна Матрица в правом нижнем углу матрицы С равна так как ее строки являются линейными комбинациями строк матрицы

Из представимости матрицы С в виде (4.1) следует представимость вектора х в виде (4.1). Итак, если к. м. С — особенная, то компонент вектора х связаны функциональной линейной зависимостью с его первыми компонентами и, следовательно, не случайны, если эти компонент зафиксированы.

2) Пусть совместное распределение векторов размерности нормально. Тогда условное (при фиксированном распределение вектора нормально.

3) Если векторы не коррелированы:

то упомянутое условное нормальное распределение вектора совпадает с безусловным. Это означает, что некоррелированность нормально распределенных векторов равносильна их статистической независимости.

2. Дальнейшее рассмотрение основывается на следующей лемме.

Лемма 4.1. Пусть совместное распределение векторов нормально и даны

Допустим, что к. неособенная, а вектор зафиксирован. Тогда параметры условного распределения вектора вектор условного и условная к. определяются формулами

Учитывая важность формул (4.2), (4.3), приведем два их доказательства.

1) Образуем нормально распределенный вектор

где матрицу выберем так, чтобы векторы были не коррелированы

Отсюда

или

Так как не коррелированы, то на основании свойства 3) фиксация не меняет нормальное распределение вектора следовательно, его параметры одинаковы до и после фиксации.

До фиксации вектора

После фиксации вектора

Приравнивая правые части (4.8) и (4.10), (4.9) и (4.11), получим формулы (4.2), (4.3).

2) Дадим другое доказательство формул (4.2), (4.3). Это доказательство основывается на некоторых предположениях, но более «прямое», чем приведенное выше,

Кроме того, его методика используется далее при рассмотрении задачи нелинейной дискретной рекуррентной фильтрации.

При доказательстве обозначение означает осреднение при фиксированном Необходимо иайги

Очевидна справедливость тождеств

Для доказательства (4.2) допустим, что имеет вид

где неизвестные неслучайные вектор и матрица Подставляя из (4.14) в (4.12), (4.13), получим систему линейных уравнений относительно вектора и матрицы :

Умножая (4.15) справа на и вычитая из (4.16), получим Так как — неособенная, то и из (4.15)

Подставляя найденные в (4.14), получим формулу (4.2). Учтем теперь тождество

Подставляя в из (4,2), получим

Допустим, что к. м. C не зависит от Тогда

и (4.18) перейдет в формулу (4.3).

Осталось доказать, что вектор определяемые формулами (4.2), (4.3), полученными при

предположениях (4.14) и (4.19), действительно являются искомыми параметрами условного нормального распределения. Для этого достаточно проверить, что распределения векторов полученная с помощью условной соответствующей найденным совпадает с распределения векторов соответствующей заданным параметрам априорного распределения векторов Здесь векторы Действительно,

Подставляя в из (4.2), (4.3), убедимся, что

3. Далее используется тождество [22, стр. 58], сводящее вычисление определителя матрицы к вычислению определителей матриц меньшей размерности. Пусть квадратная матрица А разбита на блоки:

где квадратные матрицы, причем неособенная. Тогда

В справедливости (4.22) легко убедиться, вычитая из второй строки А ее первую строку, умноженную слева на .

Пусть теперь априорного распределения векторов По условию разбита на блоки:

Обозначим: строка матрицы элементы матриц принадлежащие строкам и столбцам этих матриц. Из формулы (4.3) следует, что элементы условной к. м. С определятся равенством

Обозначим: матрицы, составленные соответственно из элементов первых строк матрицы элементов первых строк и столбцов матриц и элементов первых строк и столбцов матрицы Матрицы служат главными минорами матриц Из (4.24) следует, что

Положив из (4.22) и (4.25) получим

Пусть к. м. С положительно определена: Тогда положительно определена и условная к. следовательно, неособенно условное распределение вектора при фиксированном Действительно, из следует, что положительно определены все главные миноры матрицы а значит, и положительно определены все матрицы Так как то из (4.26) получим, что Но если положительны определители всех последовательных главных миноров матрицы, то она положительно определена. Поэтому из следует, что (если, конечно, Заметим, что величины являются определителями миноров, окаймляющих матрицу

4. Пусть корень квадратный из к. и матрица разбита на блоки

Тогда формула (4.3) может быть записана в другой

форме, из которой явно видно, что

где

Если

Найдем матрицу корень квадратный из к. м. C. Определим матрицу формулой

Тогда равенство

выполнится, если

Отсюда

или

Формулы (4.262) и (4.265) могут оказаться более удобными для вычислений элементов к. чем формула (4.3), так как при произвольных ошибках вычислений гарантируют неотрицательность диагональных элементов матриц (из-за ошибок вычислений эти элементы могут стать отрицательными, если близки по величине элементы обоих матричных слагаемых в правой части