§ 8.7. Качество стохастического управления при ошибках априорных статистических характеристик

1. Рассмотрим влияние на качество стохастического управления ошибок статистических характеристик вектора начальных условий, случайных возмущений, ошибок измерений модели 1. Из-за этих ошибок в формулах алгоритма ОРФ используются неправильные матрицы и неправильный вектор вследствие чего алгоритм порождает неправильные векторы условных и неправильные условные к. Вектор-функции стохастического управления определяется при решении на каждом шаге задачи, аналогичной задаче (8.3):

где

причем и

Здесь

Найденные вектор-функции будут, вообще говоря, неоптимальны, а функции не являются условными рисками, если даже вместо векторов подставить правильные векторы условных м. о. Заметим, что если вектор-функции не

зависят от априорных статистических характеристик (правильных или неправильных) случайных начальных условий, возмущений, ошибок измерений. Именно такой ситуации соответствуют случаи 1 и 2, описанные в § 8.3.

Изложим методику, позволяющую рассчитать качество стохастического управления, определяемого вектор-функциями Положим где векторы условных м. о. векторов получаемых при векторах управлений Из (8.1) и (6.15) видно, что векторы порождаются стохастическими уравнениями

где определяется (6.17). Так как последовательность независимых случайных векторов, то векторы, составленные из компонент векторов образуют марковскую последовательность.

При управлениях необходимо найти средний риск

Учтем, что векторы достаточных статистик векторов марковость последовательности и соотношения

Величина найдется при последовательном определении функций :

Величина является условным риском - условным м. о. величины вычисляемым в предположении, что в момент векторы z и А стали конкретными реализациями Условный средний риск вычисляемый в предположении, что в момент алгоритм НОРФ построил вектор найдем осреднением по А случайной величины :

Вектор А в момент нормально распределен и имеет вектор определяемые (6.18) и (6.16) при замене на

2. Рассмотрим, какой вид примут уравнения (8.67) — (8.69) при квадратичной функции потерь (средний риск определяется формулой и отсутствии ограничений управления. Из (8.31) следует, что в этом случае

где

а матрицы определяются рекуррентным уравнением (8.32). Из (8.67) найдем, что функция имеет вид

где и положено

Допустим, что

Из (8.68) найдем, что

где

Рассуждая по индукции и учитывая (8.72), получим, что при всех к функция является квадратичной функцией от матрицы которой определяются рекуррентными формулами (8.76) -(8.79) и начальными условиями (8.73), (8.74). Заметим, что (8.75) можно записать и в таком виде:

где минимальный условный риск, определяемый (8.33).

Далее положим Тогда в момент имеем и из (8.70), (8.80) найдем

Из (8.69) получим выражение для среднего риска

где определяемая выражением (8.36) величина минимального среднего риска, достигаемая, если (априорные статистические характеристики известны точно):

Величина характеризует ухудшение качества стохастического управления, возникающее из-за отсутствия точных данных об априорных статистических характеристиках.