§ 4.16. Сходимость алгоритма ОРФ - «оценивателя» при измерениях модели 1

1. Стохастическое уравнение для марковской последовательности векторов ошибок оценки при измерениях модели 1:

получим из (4.57), если учесть условия (4.82) — (4.85):

где

Из (4.55), (4.56) и (4.60) следует, что во всех статистических ситуациях

где к. определяется рекуррентной формулой (4.95). При этом осреднение в (4.137) может производиться как при фиксации векторов или некоторых из них, так и если все эти векторы не зафиксированы.

Из (4.59) при учете (4.82) — (4.85) получим, что при измерениях модели 1 к. м. удовлетворяет

рекуррентному уравнению

при начальном условии

где

Простыми выкладками легко проверить, что уравнение (4.138) равносильно (4.95). Далее положим

В (4.137) осреднение производится в том числе и по случайным векторам начальных условий Однако при исследовании возможностей применения алгоритма ОРФ для решения прикладных задач оценивания интересно знать эволюцию в функции к параметров распределения вектора ошибок оценки в каждой конкретной реализации при фиксированных (хоть и неизвестных) векторах Это распределение условно назовем «локальным».

Так как вектор произволен, то свойства локального распределения определяют качество алгоритма ОРФ как «оценивателя» фазовых координат системы при любых начальных условиях, в том числе и «невероятных», для принятого априорного распределения векторов Положив

получим из (4.134), (4.135)

Так как то в каждой реализации следовательно, — вектор смещенной оценки вектора. Рассеивание векторов относительно определит к.

Из (4.134), (4.135) следует, что удовлетворяет тому же рекуррентному уравнению, что и

но при начальном условии

Если для любого начального вектора выполняются два условия:

то считаем, что алгоритм ОРФ сходится. Если же выполняется лишь условие (4.144), то будем говорить, что алгоритм ОРФ сходится в среднем. Так как

то при выполнении условий (4.144) и (4.145)

Поэтому сходимость алгоритма ОРФ означает, что в каждой реализации (при произвольном начальном векторе последовательность случайных векторов сходится к последовательности случайных векторов в среднеквадратичном.

2. Покажем, что алгоритм ОРФ сходится, если

Из (4.141) и (4.140) следует, что

а из (4.138) получим

Все матрицы в правой части (4.149) — по крайней мере неотрицательно определенные. Поэтому при выполнении (4.147) каждая из этих матриц должна стремиться к нулевой матрице (в этом легко убедиться, если (4.149) умножить слева на справа на х, где произвольный единичный вектор). Отсюда

и, как видно из (4.148), справедливо (4.144). Из (4.142), (4.143) следует, что

Поэтому из (4.147) и (4.150) видно, что выполнится

В § 4.14 было получено несколько вариантов достаточных условий, выполнение которых гарантирует справедливость (4.147) и, следовательно, гарантирует сходимость алгоритма ОРФ. Заметим, что (4.147) при может выполняться лишь в особых случаях. Так, пусть

Из (4.95) при к следует, что необходимым условием для (4.147) служит равенство

которое в принципе выполпимо, лишь если

3. Пусть теоретически или расчетом показано, что при к сходится к некоторой предельной матрице С, не равной

Систему и случайные факторы считаем стационарными, так что справедливы соотношения (4.152) и Наметим доказательство того, что из (4.153) следует (4.150). Допустим, что

Причем Так как выполнены условия применимости леммы 4.5 и, следовательно, к. неособенные, то

и все матрицы неособенные.. Тогда матрица в (4.154) — неособенная. Шэтому положим

Умножив (4.149) слева на и справа — на получим

или

Так как

где то из (4.157) при к получим, учитывая (4.153) и (4.156):

Умножая (4.158) слева на а справа — на найдем

Однако и (4.159) невозможно, так как , В — ненулевые. Поэтому (4.154) невозможно и из (4.153) следует, что

Итак, если справедливо (4.153), то выполняется (4.144) и алгоритм ОРФ сходится в среднем. При этом, как видно из (4.151) и Поэтому, если сходится к С при увеличении числа наблюдений, то в каждой реализации случайные векторы в среднем сходятся к случайным векторам (в смысле стремления к нулю величины При этом рассеивание векторов вокруг стремится к предельному рассеиванию, имеющему к.

Заметим, что в прикладных задачах альтернативы равенствам (4.147) или (4.153) нет, так как в противном случае с ростом к условное рассеивание «расплывается» и увеличение числа наблюдений бессмысленно. Поэтому во всех имеющих прикладное значение задачах алгоритм ОРФ должен сходиться или сходиться в среднем.

4. Как оценить в данной реализации скорость убывания величины Для этого используем спектральную матричную норму — наименьшую матричную норму, согласованную с евклидовой векторной нормой (длиной вектора). Как известно (см. [35]), спектральная матричная норма квадратной матрицы А определяется равенством где максимальное собственное число матрицы В. Заметим, что так как для любой Справедливы соотношения: если то

Поэтому из и скорость убывания величины в функции к может служить для оценки скорости убывания величины

При большой величине к последовательное вычисление матрицы может быть затруднено. В этом

случае можно попробовать использовать оценку сверху:

Если то нетрудно получить явное выражение для матрицы Из при учитывая, что

получим

Пример. Пусть уравнения системы и измерений имеют вид

В этом случае

Рассмотрим уравнения алгоритма ОРФ при условиях

В таблице 4.1 для различных к приведены величины и Как видно, с ростом спектральная норма быстро падает, что обеспечивает быструю сходимость алгоритма ОРФ (за 100 измерений длина вектора первоначальных невязок уменьшилась не менее чем в 660 раз). Однако все спектральные нормы следовательно, оценка (4.161) является очень грубой.

Целочисленная функция служит характеристикой алгоритма ОРФ как «оценивателя». Чем быстрее убывает тем быстрее оцениваются при отсутствии ошибок измерений векторы

Заметим, что вычисление спектральной матричной нормы может быть затруднено при отсутствии отработанной

программы ЦВМ для вычисления максимальных собственных чисел симметричных матриц. Тогда следует использовать любую другую матричпую норму, согласованную с евклидовой векторной нормой. Например, при последовательном определении матриц легко вычисляется элемент матрицы имеющий максимальный модуль. Но число норма матрицы согласованная с евклидовой векторной нормой.

Таблица 4.1 (см. скан)

Поэтому целочисленная функция может служить характеристикой (конечно, более грубой, чем функция алгоритма ОРФ как оценивателя.

Пусть (алгоритмом ОРФ оценивается вектор постоянных величин). Тогда из (4.1610) следует, что качество алгоритма оценивателя можно грубо описать после умножения на максимального модуля элементов матрицы