Главная > Прикладные задачи фильтрации и управления
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 2.11. Уравнения эволюции статистических характеристик в нормальном приближении

1. Найдем рекуррентные уравнения, которым удовлетворяют вектор м. о. и к. м. случайного вектора считая, что и в уравнении (2.106) — некоторый постоянный вектор. Сделаем предварительное замечание. Пусть Тогда

и при малой величине и соответствующей гладкости функции на интервале времени длиной справедливо приближенное соотношение

где гатматрица частных производных компонент вектора по компонентам вектора вектор частных производных компонент вектора по Подставляя (2.111) в (2.110), найдем

На интервале функция постоянна и равна некоторому случайному вектору кроме того, положим

матрица частных производных компонент вектора по компонентам вектора х,

Подставим в правую часть (2.112) вместо правую часть уравнения (2.106). Тогда получим

где

Осредним обе части (2.113) по учитывая, что по определению

единичная матрица размерности и случайный вектор зависящий от случайных векторов не зависит от случайного вектора который возмущает объект управления на интервале Кроме того, после осреднения отбросим слагаемые, пропорциональные В результате найдем приближенное рекуррентное уравнение для векторов

где

вектор размерности у которого — компонента с номером к определяется равенством

где элемент матрицы частная производная элемента по

Вычтем из (2.113) равенство (2.114); полученное приближенное выражение для умножим справа на и осрсдним по учитывая, что

где компонента вектора Отбрасывая слагаемые, пропорциональные величине в степени выше первой, найдем приближенное рекуррентное уравнение для к.

где

Уравнения (2.114) и (2.118) дают алгоритм последовательного вычисления и если известен способ вычисления функций некоторый начальный момент заданы Однако для сокращения времени расчетов на ЦВМ целесообразно в (2.114) и (2.118) после деления на перейти к пределу при и определять численно интегрируя от до уравнения

например, методом Рунге — Кутта с автоматическим выбором шага.

2. Если в (2.106) вектор элементы матрицы линейные функции вектора х, то уравнения (2.121) записываются в замкнутом виде без каких-либо предположений о законе распределения вектора Так, пусть

где матрица А и вектор-строка могут зависеть от После простых выкладок, используя выражения для

получим, что x и С удовлетворяют уравнениям

где элементы матриц а и определяются формулами

Так как матрица может быть устойчивой, а матрица неустойчивой, то «шумящие» пропорционально х коэффициенты линейного объекта управления, устойчивого при отсутствии шумов, могут сделать его неустойчивым.

3. Пусть теперь в (2.106) — нелинейные функции х. Уравнения (2.121) будут замкнутыми (их правые части будут зависеть лишь от если считать нормальным с параметрами х и С закон распределения вектора х, используемый при вычислении

Если компоненты вектора и элементы матрицы полиномы относительно компонент вектора х, то явные зависимости от компонент вектора и элементов матрицы С найдем, используя известные выражения моментов высших порядков нормального распределения через компоненты вектора м. о. х и элементы к. Так, если в компоненты вектора входят степенные слагаемые вида то их м. о. можно найти из формулы

которая следует из формул (2.108), (2.109). Искомое м. о. будет некоторым полиномом от компонент х и элементов С. К этому же случаю придем, если допустить, что можно разложить в ряд Тейлора по

степеням компонент вектора и ограничиться конечным числом членов.

В общем случае для определения используем выражение (2.110), считая, что к. м. С — неособенная:

Продифференцируем правую часть (2.124) по компонентам вектора х и учтем, что

Тогда получим следующее выражение для матрицы

где

Уравнения (2.121) примут следующий замкнутый вид:

Эти уравнения надо численно интегрировать от до при начальных условиях Выражения величин через экспоненциальную функцию и функцию интеграла вероятностей приведены в [26] для большого числа нелинейных функций одной переменной и некоторых функций двух переменных. Обычно размерность вектора существенно меньше размерности вектера х (на многомерную динамическую систему случайные воздействия часто действуют в одной - двух точках) и матрица

бенная. Поэтому при начальном условии следует ожидать, что особенной будет и матрица С, удовлетворяющая (2.121). В этом случае плотность вероятности в виде (2.110) не существует и незаконно представление вектора и матрицы несобственными интегралами в правых частях формул (2.124) и (2.125). Однако уравнение (2.127) остается справедливым. В этом можно убедиться предельным переходом, устремляя к нулю добавляемые к элементам к. м. С слагаемые, которые делают ее неособенной.

1
Оглавление
email@scask.ru