§ 2.11. Уравнения эволюции статистических характеристик в нормальном приближении

1. Найдем рекуррентные уравнения, которым удовлетворяют вектор м. о. и к. м. случайного вектора считая, что и в уравнении (2.106) — некоторый постоянный вектор. Сделаем предварительное замечание. Пусть Тогда

и при малой величине и соответствующей гладкости функции на интервале времени длиной справедливо приближенное соотношение

где гатматрица частных производных компонент вектора по компонентам вектора вектор частных производных компонент вектора по Подставляя (2.111) в (2.110), найдем

На интервале функция постоянна и равна некоторому случайному вектору кроме того, положим

матрица частных производных компонент вектора по компонентам вектора х,

Подставим в правую часть (2.112) вместо правую часть уравнения (2.106). Тогда получим

где

Осредним обе части (2.113) по учитывая, что по определению

единичная матрица размерности и случайный вектор зависящий от случайных векторов не зависит от случайного вектора который возмущает объект управления на интервале Кроме того, после осреднения отбросим слагаемые, пропорциональные В результате найдем приближенное рекуррентное уравнение для векторов

где

вектор размерности у которого — компонента с номером к определяется равенством

где элемент матрицы частная производная элемента по

Вычтем из (2.113) равенство (2.114); полученное приближенное выражение для умножим справа на и осрсдним по учитывая, что

где компонента вектора Отбрасывая слагаемые, пропорциональные величине в степени выше первой, найдем приближенное рекуррентное уравнение для к.

где

Уравнения (2.114) и (2.118) дают алгоритм последовательного вычисления и если известен способ вычисления функций некоторый начальный момент заданы Однако для сокращения времени расчетов на ЦВМ целесообразно в (2.114) и (2.118) после деления на перейти к пределу при и определять численно интегрируя от до уравнения

например, методом Рунге — Кутта с автоматическим выбором шага.

2. Если в (2.106) вектор элементы матрицы линейные функции вектора х, то уравнения (2.121) записываются в замкнутом виде без каких-либо предположений о законе распределения вектора Так, пусть

где матрица А и вектор-строка могут зависеть от После простых выкладок, используя выражения для

получим, что x и С удовлетворяют уравнениям

где элементы матриц а и определяются формулами

Так как матрица может быть устойчивой, а матрица неустойчивой, то «шумящие» пропорционально х коэффициенты линейного объекта управления, устойчивого при отсутствии шумов, могут сделать его неустойчивым.

3. Пусть теперь в (2.106) — нелинейные функции х. Уравнения (2.121) будут замкнутыми (их правые части будут зависеть лишь от если считать нормальным с параметрами х и С закон распределения вектора х, используемый при вычислении

Если компоненты вектора и элементы матрицы полиномы относительно компонент вектора х, то явные зависимости от компонент вектора и элементов матрицы С найдем, используя известные выражения моментов высших порядков нормального распределения через компоненты вектора м. о. х и элементы к. Так, если в компоненты вектора входят степенные слагаемые вида то их м. о. можно найти из формулы

которая следует из формул (2.108), (2.109). Искомое м. о. будет некоторым полиномом от компонент х и элементов С. К этому же случаю придем, если допустить, что можно разложить в ряд Тейлора по

степеням компонент вектора и ограничиться конечным числом членов.

В общем случае для определения используем выражение (2.110), считая, что к. м. С — неособенная:

Продифференцируем правую часть (2.124) по компонентам вектора х и учтем, что

Тогда получим следующее выражение для матрицы

где

Уравнения (2.121) примут следующий замкнутый вид:

Эти уравнения надо численно интегрировать от до при начальных условиях Выражения величин через экспоненциальную функцию и функцию интеграла вероятностей приведены в [26] для большого числа нелинейных функций одной переменной и некоторых функций двух переменных. Обычно размерность вектора существенно меньше размерности вектера х (на многомерную динамическую систему случайные воздействия часто действуют в одной - двух точках) и матрица

бенная. Поэтому при начальном условии следует ожидать, что особенной будет и матрица С, удовлетворяющая (2.121). В этом случае плотность вероятности в виде (2.110) не существует и незаконно представление вектора и матрицы несобственными интегралами в правых частях формул (2.124) и (2.125). Однако уравнение (2.127) остается справедливым. В этом можно убедиться предельным переходом, устремляя к нулю добавляемые к элементам к. м. С слагаемые, которые делают ее неособенной.