§ 4.17. Алгоритм ОРФ при измерениях модели 2

Найдем алгоритм ОРФ, если векторы измерений соответствуют модели 2. В этом случае ошибки измерений отсутствуют и выражение для векторов измерений имеет вид

Случай достаточно актуалеп, так как, например, соответствует ситуации, в которой ошибки измерений статистически зависимы. Далее считаем, что все матрицы порядка имеют ранг . В противном случае некоторые строки будут липейпо зависимы от остальных строк. Это означает, что соответствующие компоненты вектора линейно зависимы от остальных компонент, не влияют на условное распределение вектора и могут быть исключены из состава вектора

Искомый алгоритм в принципе можно было бы получить из (4.94), (4.95), положив в и проводя процедуру АЛО. Однако, используя зависимости (4.36) — (4.42), можно уменьшить объем вычислений, понизив максимальный порядок входящих в формулы матриц с до Так как по условию ранг матрицы равен I, то существует в ее составе неособенная матрица порядка , которую соответствующей нумерацией компонент вектора можно поместить в левой части матрицы Тогда матрица разобъется на блоки вида

где матрица порядка

С помощью линейного неособенного преобразования перейдем от вектора

причем

Умножая (4.78) слева на получим, что векторы х удовлетворяют соотношениям

где

Распределение вектора нормально и имеет параметры

Из (4.79) получим

Векторы можно представить в виде

где

и, следовательно,

Векторы удовлетворяют уравнениям

Матричные коэффициенты в правых частях (4.172), (4.173) являются соответствующими блоками матриц определяемых (4.167):

К. м. и взаимные к. м. векторов найдем при разбиении на блоки к. м. определяемой (4.169):

априорные к. м. векторов их взаимную к. м. получим из разбиения на блоки матрицы определяемой (4.168):

причем

Итак, в рассматриваемой ситуации векторы обратной связи вида (4.162) являются, как это следует из (4.171), фиксируемыми векторами связанными с векторами соотношениями (4.172), (4.173). При этом априорное распределение векторов нормально. Но ранее было показано, что случайные векторы такого класса имеют нормальное условное распределение, параметры которого определяются формулами вида (4.41), (4.42) при начальных условиях из (4.176), (4.177).

Для определения параметров условного нор малыюго распределения вектора его условной

взаимной с учтем, что

Отсюда получим

Если через обозначить параметры искомого условного распределения вектора то можно использовать следующую компактную запись:

Рекуррентные формулы (4.41), (4.42) и (4.178), (4.179), (4.180) (или (4.41), (4.42) и полностью определяют эволюцию параметров условного распределения векторов при измерениях модели 2 и являются алгоритмом ОРФ в этом случае

Из (4.181) видно, что матрицы всегда особенные (имеют ранг не более Поэтому трудно что-либо сказать о ранге матриц а значит, и о ранге матриц кроме очевидных частных случаев (например, если то, как видно из (4.38), неособенная). Поэтому весьма вероятна необходимость применения АЛО или ПА при использовании рекуррентных формул (4.41), (4.42).

Формулы (4.36) — (4.42) применимы, если удается получить аналитические выражения для матриц по которым в соответствии с (4.167), (4.169), (4.174), (4.175) можно получить аналитические выражения для матриц в правых частях формул Однако часто эти выражения получить трудно и необходимо найти систему векторных и матричных дифференциальных уравнений, из которых векторы и матрицы входящие в правые части (4.41), (4.42), определяются численным интегрированием при соответствующих начальных условиях.

Пусть в момент найдены векторы составляющие вектор условного м. о. вектора и матрицы блоки условной к. м.

вектора Численно интегрируя от до при начальных условиях уравнения (4.96), (4.97), получим параметры априорного (до фиксации вектора распределения вектора Тогда векторы и матрицы определятся при разбиении на блоки вектора и матрицы

При измерениях модели 2 исследование стохастической наблюдаемости можно провести, рассматривая структуру матрицы описываемой (4.74), (4.75), в которых где фундаментальная матрица, соответствующая уравнениям (3.1).