§ 9.10. Алгоритм конечнозначной адаптации и квазиоптимальное управление при многих гипотезах

1. Рассмотрим задачу оценки вектора фазовых координат линейной динамической системы в условиях, когда точно неизвестны ни матрицы описывающие детерминированные характеристики системы и датчиков дпформации, ни к. описывающие параметры нормальных распределений векторов но заданы возможных совокупностей этих матриц и априорные вероятности их появления до момента начала измерений (предполагается, что после начала измерений совокупность матриц не изменяется). Задача ставится следующим образом. Даны априорные вероятности того, что векторы фазовых координат системы и векторы измерений генерируются математической моделью

Матрицы имеют соответственно размерности и ранги Случайные векторы образуют последовательности независимых, нормально распределенных случайных векторов с к. размерностей неособенная. Если вектор принадлежит модели, то его априорные вектор м. о. и к. м. В момент необходимо найти — условную (плотность вероятности) вектора вектор условного м. о. вектора вектор оценок, оптимальный по среднеквадратичному критерию.

Обозначим через условную (после фиксации вероятность того, что система и

измерения принадлежат модели, и через условную вектора если система и измерения принадлежат модели. Пусть дискретная случайная величина перед измерениями может принимать значения причем, если то система и измерения принадлежат модели. Поэтому

и - условная величины имеет вид

где дельта-функция. Запишем совместную условную величины 0 и вектора по формуле Бейеса:

Интегрируя обе части (9.88) по 0 от до найдем выражение для

Так как распределение вектора при условии, что он принадлежит модели, нормально с параметрами и С о, то нормального условного распределения, параметры которого и определяются рекуррентным алгоритмом ОРФ Калмана:

где

Найдем рекуррентные формулы для величин Обозначим через вектора при условии, что зафиксированы векторы Тогда совместную условную (зафиксированы

величины 0 и вектора запишем в виде

Интегрируя обе части (9.92) по 0 от до получим

где вектора при условии, что зафиксированы

По формуле Бейеса запишем

Приравняем правые части формул (9.92) и (9.94) и проинтегрируем по 0 от до Получим

Если система и измерения принадлежат модели, то причем в момент (до фиксации вектор имеет нормальное распределение с параметрами определяемыми Поэтому

и. в. нормального распределения с параметрами

следовательно, в (9.85) 1

где

Формулы (9.95) и (9.96), используемые совместно с (9.90), (9.91), определяют рекуррентную процедуру получения условных вероятностей если заданы априорные вероятности Величины случайны. Однако из (9.95), (9.96) видно, что всегда выполняются условия

если только эти условия справедливы при

Итак, в соответствии с (9.95) условная вектора оказалась линейной комбинацией нормальных

условных в., параметры которых определяются алгоритмами ОРФ Калмана, используемыми для каждой из возможных моделей: коэффициенты линейной комбинации зависят от вектора текущих измерений. и от коэффициентов на предыдущем шаге. Из (9.95) следует, что вектор условного м. о. вектора может быть найден по формуле

Описанный алгоритм (9.90), (9.91), (9.95) -(9.97) является алгоритмом нелинейной фильтрации, так как ненормального распределения и нелинейно зависит от Алгоритм в принципе решает задачу адаптации и идентификации для любых линейных с неизвестными параметрами стохастических динамических систем (заданных дифференциальными уравнениями или в рекуррентной форме и систем стохастических измерений. Для этого достаточно возможные диапазоны параметров разбить на малые интервалы, составить возможных моделей и применить изложенную методику при достаточно большом числе измерений.

Модель, для которой величина стабильно больше остальных величин (может быть, после пропускания через простой цифровой фильтр для сглаживания случайных выбросов), следует считать решением задачи идентификации или, что то же самое, решением задачи выбора из возможных гипотез.

Эвристические суждения об эволюции в функции к величин получим, если определить величины формулой, следующей из (9.95), (9.96):

где

Пусть действительная система и измерения совпадают с моделью номера для сокращения записи формул

будем без индекса обозначать параметры этой модели и соответствующих условных к. и т. д. Кроме того, считаем, что векторов управлений нет. Векторы при запишем в виде

где - последовательность независимых случайных векторов с к. м. Q (см. (4.65)). Но

где векторы Д? возникают из-за разницы между моделями с номерами (Стохастические уравнения для Да в двух частных случаях приведены ниже.) Тогда из (9.101)

Оценим средние значения случайных чисел При

При

где

Если допустить, что элементы матриц примерно одинаковы, то получим, что Поэтому в среднем величины должны стремиться к 0 быстрее величин и следует ожидать стремления к 1 среднего значения

Конечно, приведенное рассуждение является очень грубым. Аналитическое исследование эволюции в функции к статистических характеристик случайных чисел по-видимому, невозможно, из-за их сложного распределения.

2. Существует много прикладных ситуаций, в которых использование алгоритма целесообразно при малых величинах Пусть, например, надо по результатам измерения с ошибками координат объекта оценить его скорость, причем объект движется равномерно и прямолинейно или с постоянным ускорением. В этом случае (модель 1) или (модель 2). В обоих случаях Если в фильтре-оценивателе использовать модель 1, то при движении объекта с ускорением оценка V будет получена с систематической ошибкой, тем большей, чем больше а. Систематические ошибки исчезнут, если в фильтре-оценивателе использовать модель 2. Но тогда при движении объекта прямолинейно случайные ошибки оценки V будут большими, чем при использовании модели 1.

В описанной ситуации можно (задавшись априорными данными о вероятности движения с ускорением) решать известными методами задачу обнаружения ускорения а, принимая после этого решение об использовании в фильтре-оценивателе модели 1 или модели 2. Однако такой путь иногда неудобен, так как есть элемент произвола при назначении допустимых вероятностей ложной тревоги или пропуска.

Изложенный выше алгоритм без явного решения задачи обнаружения определяет оценки, оптимальные по среднеквадратичному критерию. Пусть, например, Тогда оценить фазовые координаты надо в условиях, когда с априорной вероятностью в измерениях нет полезного сигнала (нет динамической системы) и с априорными вероятностями система и измерения принадлежат моделям. В этом случае формулы алгоритма надо использовать при учете того, что (так как и

Величина в функции к опишет эволюцию вероятности отсутствия в измерениях полезного сигнала.

3. Пусть даны линейная система и измерения, но начальное распределение вектора ненормально и его

может быть представлена линейной комбинацией нормальных с параметрами

где

В этом случае условная вектора его условное м. о. определятся изложенным алгоритмом, если положить и начальными условиями алгоритмов ОРФ Калмана считать заданные векторы и заданные к.

4. Из формул (9.89) и (9.90) видно, что условную плотность вероятности полностью определяют зависящие от зафиксированных векторов измерений векторы и числа Поэтому вектор размерности составленный из этих векторов и чисел, является вектором достаточных статистик: на множестве векторов сохраняющем постоянными компоненты вектора распределение случайного вектора остается постоянным.

Найдем условия, при которых последовательность случайных векторов является марковской. Векторы в (9.96) записаны в виде (9.101) при Поэтому, как видно из (9.95), (9.96), распределение случайных величин зависит лишь от вектора достаточных статистик Дивекторов и чисел

Пусть теперь статистические характеристики случайных возмущений и ошибок измерений известны точно: и модели отличаются лишь матрицами Тогда в (9.102) случайные векторы как следует из (6.46) и (6.52), (6.53), порождаются стохастическими уравнениями

или

Кроме того,

Подставляя в (9.102) правые части (9.105) и (9.106), видим, что распределение случайных векторов зависит лишь от векторов

Итак, распределение компонент вектора зависит лишь от компонент вектора следовательно, в рассмотренном случае векторы образуют марковскую последовательность достаточных статистик.

Аналогичная ситуация возникает, если точно известны матрицы и модели отличаются лишь матрицами

В этом случае опять справедливо равенство (9.102), в котором порождаются стохастическими уравнения вида (6.15):

(матрицы в (9.104) и (9.107), конечно, отличаются друг от друга в соответствии с формулами § 6.1 и 6.5). Подставляя в (9.102) правую часть (9.107) после замены на получим, что распределение случайных векторов зависит лишь от векторов

Итак, в обоих рассмотренных случаях векторы образуют марковскую последовательность достаточных статистик. Нетрудно проверить, что этот вывод сохраняется, если некоторые заданные (фиксированные) векторы. Поэтому можно утверждать, что

где функция соответствующего числа переменных, последовательность независимых случайных векторов с к. Поэтому выполнены условия 1, 2 § 1.6 и вектор оптимального управления должен быть функцией (справедливо

Синтез оптимального управления в принципе можно проводить методом стохастического программирования, последовательно решая уравнения (1.55) — (1.57). Случайный механизм генерации векторов имеющих условную определяется формулой (9.108). Синтез определит вектор-функции

в которые вектор входит иначе, чем остальные векторы Но при использовании (9.109) для управления неизвестно, какой из векторов генерируемых моделями, является вектором По-видимому, целесообразно на каждом шаге управления вектором считать тот из векторов которому соответствует максимальная из величин Средний риск при использовании предложенного эвристического решения, формирующего квазиоптимальное управление, будет, конечно, больше минимального среднего риска, определяемого при использовании (9.109).

Пусть, наконец, модели отличаются друг от друга всеми матрицами В этом случае фиксация векторов уже не определяет распределение векторов и последовательность достаточных статистик — немарковская. По-видимому, наиболее простой синтез квазиоптимального управления получим, если в вектор-функциях получаемых из уравнений главы 8, вектором считать вектор соответствующий наибольшему числу и прошедший, может быть, предварительное сглаживание.

Используя уравнения главы 1, нетрудно выписать цепочку рекуррентных уравнений для численного определения среднего риска в этом случае.

5. Рассмотрим пример построения алгоритма конечнозначной адаптации в условиях, когда известны возможных значений, которые с одинаковой вероятностью может иметь дисперсия ошибок измерений; одно из этих значений (но неизвестно какое) является дисперсией ошибок измерений. Примем в (9.86) и в Положим, что в 11 моделях ошибок измерений дисперсия этих ошибок изменяется через

0,1 в интервале от 0,1 до 1,1. Назовем случаями 1, 2, 3 ситуации, в которых истинная дисперсия ошибок измерений равна соответственно 0,1; 0,6; 1,1. На рис. 9.2 для этих трех случаев в функции числа измерений представлены кривые эволюции условной вероятности той модели, у которой дисперсия ошибок измерений совпадает с истинной дисперсией. Как видно, во всех случаях алгоритм конечнозначной адаптации уверенно производит

идентификацию, так как условная вероятность стремится к 1 с увеличением числа измерений. Наиболее быстро идентификация производится в случае 3 (в этом случае будет наибольшей дисперсия случайных величин в (9.100) и, следовательно, в (9.98) величины при будут убывать наиболее быстро).

Рис. 9.2.

Кривые эволюции величин апостериорной вероятности в случаях 1 и 2 практически совпадают.