§ 3.8. Оптимальное скалярное стохастическое управление

Рассмотрим подробнее структуру оптимального управления линейной динамической системой, осуществляемого изменением скалярной величины и, симметрично ограниченной: В этом случае векторы, перпендикулярные векторам гиперплоскость параллельная вектору прямая, пересекающая конец вектора Область векторов будет отрезком на прямой векторы концов которого обозначим через Из ранее изложенного следует, что оптимальное управление описывается следующей логикой:

1. Ищется вектор (и соответствующие векторы для которого точка лежит на прямой этот вектор должен удовлетворять равенству

2. Проверяется условие

Если (3.82) выполнено, то точка лежит на прямой между точками оптимальное управление неоднозначно и можно, например, положить

3. Пусть точка лежит вне отрезка (условие (3.82) не выполнено), и обозначим через тот вектор для которого

Очевидно, что ближайшая к точке точка отрезка Из неравенства (3.74) при следует, что для минимизации по и функции надо выбрать и так, чтобы точка была возможно «ближе» к точке Поэтому при условии

оптимальное управление линейно и такое, что

Отсюда

При условии

оптимальное управление релейно:

Итак, оптимальное терминальное скалярное управление определяется формулами (3.83), (3.86), (3.88). Задача численного процесса оптимизации: для данного вектора найти векторы входящие в формулы для Далее, простым перебором определяются величины такие, что при

Очевидно, что

Заметим, что для численного поиска величины можно использовать известные методы одномерного поиска, не требующие вычисления производных от минимизирующих функций и позволяющие рационализировать стратегию последовательных «проб» — последовательного выбора величин и. Эти методы (например, метод дихотомии, метод «золотого сечения» [49]) используются для поиска точек экстремума унимодальных функций и применимы в рассматриваемом случае.

Прямые касаются поверхности уровня по отрезкам (может быть, состоящим из одной точки), которые образуют на поверхности уровня замкнутую «ленту». Границы этой «ленты» — замкнутые кривые, образованные векторами можно назвать «линиями переключения знака» оптимального скалярного управления. При изменении величины с упомянутые линии образуют в «поверхность переключения знака управления».