§ 2.12. Общий численный метод определения статистических характеристик

При определении статистических характеристик сложных нелинейных динамических систем аналитические формулы через затабулированные функции для вектора и матрицы (или матрицы входящие в правые части уравнений (2.121) или (2.126), (2.127), иногда получить не удается; осложнения в вычислениях возникают, если к. м. С — особенная (или плохо обусловлена); в ряде случаев аналитические формулы очень сложны и непригодны для конкретных вычислений. Так, например, если характеристика нелинейного элемента типа «люфт» или «люфт с насыщением» (нелинейности 19 и № 17 в [26]), то формула для величины занимает в [26] более страницы, а формулы для вообще не приведены из-за их громоздкости. Величины обозначены в [26] соответственно и названы «коэффициентами статистической линеаризации». Заметим, что если вектор-функция задается не аналитически, а алгоритмически, то аналитические выражения для вектора и матрицы в принципе получены быть не могут.

Изложим способ вычислений на ЦВМ, основанный на определении многомерных интегралов в правых частях (2.124), (2.125) с помощью приближенных

квадратурных формул. Пусть к. м. С записана в виде

где матрица размерности условно называемая «корнем квадратным из С». Это название естественно, так как С можно представить в виде (2.128) тогда и только тогда, когда Способ построения матрицы будет изложен ниже.

Представим случайный вектор х в виде

где случайный вектор, составленный из независимых, центрированных нормально распределенных случайных величин с дисперсиями, равными 1/2. Тогда вектор и матрицу из (2.124) и (2.125) можно записать в форме

Подчеркнем, что преобразование (2.129) уменьшило с до. размерность подлежащих вычислению интегралов. Интегралы в правых частях (2.130), (2.131) будем вычислять, проводя простое обобщение на многомерный случай квадратурных формул наивысшей алгебраической точности. Напомним методику получения этих формул для вычисления однократного интеграла

где заданная функция. При приближенном вычислении заменим полиномом принимающим значения в заданных точках . Тогда

где интерполяционный полином:

Тогда J (приближенное значение J) имеет вид

где

Ошибку вычисления интеграла 7 найдем из формулы

где причем

Пусть вещественные нули полинома Эрмита определяемого формулой

Из (2.135) видно, что полином степени легко доказать, что все нули вещественные. Пусть полином некоторой степени. Тогда полином, нули которого равны и он делится на где некоторый полином. Но из (2.135) интегрированием по частям легко убедиться, что

если Поэтому правая часть (2.134) равна нулю, если полином степени, меньшей следовательно, полином степени, не большей Так как полиномы степени степень полиномов то степень не больше когда не больше степень полинома Итак, квадратурная формула (2.132) дает точное значение интеграла если нули а степень полинома не более Величина и определяемые (2.133) величины для разных значений I приведены в [30].

Пусть теперь многомерный интеграл:

где функция переменных, являющаяся по каждой переменной (при зафиксированных остальных переменных) полиномом степени, не большей . Но, применяя квадратурную формулу наивысшей алгебраической точности (2.132), получим, что -мерный интеграл может быть представлен линейной комбинацией интегралов размерности

где нули полинома Применяя далее аналогичную процедуру понижения размерности интеграла, получим

где всевозможные «слова» из «букв» по «букв» в каждом слове. В (2.136) число слагаемых равно

При заданной величине I квадратурная формула вида (2.136) используется при замене функции на компоненты вектор-функции и элементы матричной функции Вектор и матрица при данных и будут найдены тем точнее, чем точнее полиномами от переменных степени по каждой переменной, не большей , можно аппроксимировать функции - компоненты вектора и элементы матрицы

Так как при фиксированном векторе и вектор — плавные функции времени, то численное интегрирование уравнений (2.126), (2.127) целесообразно производить методом Рунге — Кутта с автоматическим выбором шага по критерию точности; в этом случае автоматически будут назначаться моменты времени, в которые с помощью квадратурной формулы вида (2.136) надо определять правые части этих уравнений.

Часто в практических задачах вектор в уравнении (2.106) является суммой вектора, нелинейно зависящего от некоторых (обычно далеко не всех!) компонент вектора х, и вектора, линейно зависящего от х:

где вектор, составленный из некоторых компонент нелинейная вектор-функция от некоторая матрица размерности Обычно значительная часть компонент вектора равна 0. Уравнения (2.126), (2.127) примут вид

где

соответственно вектор, составленный из некоторых компонент вектора х, и матрица, составленная из некоторых строк матрицы удовлетворяющие записи

Обычно значительная часть компонент вектора и матрицы равны нулю. В этом случае квадратурные формулы вида (2.136) используются лишь при вычислении небольшого числа компонент вектора и элементов матрицы Кроме того, нетрудно проверить, что размерность интегралов в правых частях (2.140), (2.141) уменьшается на число столбцов матрицы составленных из элементов, равных; нулю.

Как известно [30], квадратурные формулы наивысшей алгебраической точности дают хорошие результаты, когда подынтегральная функция — достаточно гладкая. Поэтому, если нелинейная функция в (2.137) — разрывная по некоторой переменной, то подынтегральные функции в (2.140), (2.141) целесообразно «сгладить» интегрированием по частям, проводя интегрирование функции

по этой переменной и дифференцирование по той же переменной функции в (2.141). Это интегрирование выполняется особенно просто в важном для целей практики случае, когда - кусочно-линейная функция, разрывная в некоторых точках.

Рассмотрим следующий поучительный пример. Пусть описывает релейный с зоной нечувствительности нелинейный элемент: если если Обозначим

Проводя интегрирование по частям один раз и два раза, можно величину записать соответственно в виде формул

где при при при Функции и в отличие от функции не имеют разрывов, однако более гладкая функция, чем имеет разрывы при разрывов не имеет.

Дальнейшими интегрированиями по частям можно сколь угодно сильно «повысить гладкость» подынтегральной функции. Точное выражение для величины имеет вид

Для приближенного вычисления используем квадратурные формулы вида (2.132), где пули полинома

Эрмита при и обозначим через результаты вычислений, если величину определять соответственно формулами (2.142), (2.143), (2.144). В таблице 2.1 приведены величины найденные для разных величин

Таблица 2.1 (см. скан)

Из таблицы 2.1 видно, что в ряде случаев величина довольно значительно отличается от величина особенности величина совпадают с с приемлемой для практики точностью.

На примере нелинейного элемента типа «люфт» проиллюстрируем сглаживание подынтегральной функции двух переменных, разрывной по одной из них. В случае «люфта» обычно прииимают если если функция разрывна по и надо, используя квадратурную формулу вида (2.136), вычислить величину

Переходя к промежуточным переменным интегрируя по частям по и переходя обратно к переменным представим в виде

где

В (2.146) не имеет разрывов подынтегральная функция, являющаяся множителем перед функцией Поэтому запись величины в виде (2.146) следует использовать в квадратурных формулах наивысшей алгебраической точности.