§ 4.20. Алгоритм ОРФ при зависимых ошибках измерений

1. Для получения уравнений алгоритма ОРФ, если векторы удовлетворяют (4.78), векторы измерений имеют вид (4.77), а векторы случайных ошибок измерений удовлетворяют уравнениям дискретного формирующего фильтра вида (4.198), (4.199). Введем векторы

Тогда

где Итак, задача рекуррентной фильтрации при зависимых ошибках измерений свелась к рассмотренной ранее задаче определения параметров условного распределения векторов при векторах измерений модели 2.

Переходя от с помощью линейного неособенного преобразования (см. (4.164), получим, что векторы связаны соотношениями вида (4.172), (4.173), в которых

Эти формулы следуют из матричных равенств

Из матричного равенства

следуют выражения для к. м. и взаимных к. м. векторов

Из соотношений вида (4.168) и найдем, что параметры априорного распределения векторов определятся равенствами

Параметры условного распределения вектора вектор его априорного (в момент представим в виде

где параметры условного распределения вектора которые мы вынуждены определять вместе с — условная взаимная к.

Из (4.36), (4.37) и найдем

Из уравнения (4.41) получим

где матрицы, составленные соответственно из последовательных строк матрицы Матрицы определяются формулами (4.38)-(4.40). Все матрицы, входящие в эти соотношения, приведены в (4.207) -(4.209) и (4.210), (4.211).

Определив матрицу из (4.18) найдем, в соответствии с разбиением на блоки в (4.214), C - правый нижний блок матрицы Начальные условия для применения рекуррентных формул (4.218), (4.219), (4.42) получим из (4.212), (4.213).

Иногда полезно иметь выражения для параметров условного распределения всего вектора составленного из элементов векторов Учитывая вид матрицы нетрудно получить следующие разбиения на блоки условных м. о. и к. м. вектора

Выше рассматривалась распространенная ситуация, в которой векторы белых шумов в уравнениях (3.1) и (4.192), (4.193) не имели общих элементов. В противном случае путем соответствующего расширения матриц целесообразно считать, что Тогда матрицы и в (4.211) примут более сложный вид.

2. Полученные выше формулы алгоритма ОРФ (эти формулы иным способом были получены в [10]) показывают, что при зависимых ошибках наблюдений и формирующем фильтре общего вида (4.192), (4.193) определение параметров условного распределения вектора сопровождается вынужденным определением параметров условного распределения случайного вектора, составленного из вспомогательного вектора и вектора Если в формирующем фильтре отсутствует вспомогательный вектор , то алгоритм ОРФ при зависимых ошибках измерений по объему вычислений (по порядку входящих в

формулы алгоритма векторов и матриц) не отличается от алгоритма ОРФ Калмана.

Действительно, при

и формулы алгоритма ОРФ примут вид

где

определяется (4.217).

Первый шаг алгоритма, как следует из (4.212), (4.213), имеет вид

Наиболее часто в прикладных задачах для ошибок измерений используют формирующий фильтр вида (4.195). В этом случае в приведенном выше алгоритме (4.221) — (4.224) надо положить

а величины взять из (4.206i).

3. При алгоритм ОРФ (4.221), (4.222) нетрудно записать в виде, содержащем не к. а матрицу корень квадратный из матрицы

Пусть Положим (матрица существует, так как фундаментальная матрица). Тогда

Из (4.222) получим

4. Рассмотрим случай, когда не удается получить аналитические выражения для фундаментальных матриц уравнений формирующего фильтра и динамической системы.

Пусть в момент получены вектор и матрица определяемые при замене к на 1 формулами (4.220). Определим матрицы разбиением на блоки:

и найдем вектор априорного (для момента и априорную к. численным интегрированием от до уравнений

при начальных условиях

Тогда Векторы и матрицы необходимые для использования формул рекуррентной фильтрации (4.218), (4.219), (4.42), найдутся из равенств

5. При зависимых ошибках измерений легко получить частные условия стохастической ненаблюдаемости. Так, из формул (4.224), (4.222) следует, что при отсутствии шумов, возмущающих динамическую систему во всех измерениях (кроме измерения в момент векторы стохастически пенаблюдаемы, если

Действительно, при выполнении и, следовательно, Равенство (4.225) выполнится, например, если Вектор при этом имеет не менее I стохастически, наблюдаемых компонент, если к. м. С о — неособенная, а ранг равен I (в этом случае составлен из I линейно независимых векторов-столбцов, а к. положительно определена).

Итак, в рассмотренном случае условные вектор постоянны после поступления первого вектора

обратной связи Пусть теперь неособенные, а ранг матриц равен В этом случае к. неособенные (следует из лемм при замене к. и матрицы на к. и матрицу и справедливы доказанные ранее для измерений модели 1 положения о стохастической наблюдаемости и условиях сходимости условного распределения.

6. В заключение отметим, что в литературе [19, стр. 457] алгоритм рекуррентной фильтрации при зависимых ошибках измерений получают искусственным путем, образуя линейную комбинацию векторов двух последовательных измерений, причем молчаливо предполагается, что найденный алгоритм является оптимальным. Однако алгоритм [19] отличается от приведенного выше алгоритма (4.222).

Поясним это в частном случае, когда (на систему не действуют случайные возмущения) и система стационарна . В этом случае, как следует из формул на стр. 460 [19], в алгоритме [19] к. в принятых выше обозначениях определяется рекуррентным уравнением

в то время как в алгоритме ОРФ из (4.222) к. в развернутой форме имеет вид

Кроме того, в алгоритме [19] в формуле вида (4.221) для вектора оценок векторы заменены соответственно на векторы Поэтому алгоритм [19] выдает векторы оценок с запаздыванием на интервал времени А. Не является алгоритмом ОРФ вида (4.221), (4.222) и алгоритм, приведенный в [44, стр. 333].