§ 1.12. Задача оптимального управления при случайном терминальном моменте

Рассмотрим ситуацию, в которой случаен интервал управления Для сокращения записи считаем где целое случайное число. Пусть случайные числа генерируются некоторым случайным механизмом в моменты и для каждого к известно распределение вероятность того, что где с — целое число и с заданные целые числа. Считаем случайную последовательность такой, что при всех к и для каждой реализации этой последовательности найдется такое единственное целое число а, что

Величина -конечно, случайная. Условие (1.103) означает, что случайная дискретно изменяющаяся величина в некоторый единственный момент времени равна текущему времени

Простой пример описанной модели получим, если величина постоянна в данной реализации процесса управления (но, конечно, неизвестна при синтезе управления) и случайна на множестве реализаций с заданным распределением При этом задает распределение на интервале так, что с вероятностью 1.

Рассмотрим задачу синтеза управления, минимизирующего средний терминальный риск

где символ включает в себя и осреднение по случайным моментам В этом случае векторы управлений должны минимизировать средний риск при случайном времени управления. Подчеркнем, что в рассматриваемой постановке сигнал «окончить управление» поступает «извне», прекращение управления «неожиданно» для системы и не зависит от процесса управления. Пусть функция такова, что если Учитывая оговоренные выше свойства случайного целого числа легко убедиться в справедливости равенства

и, следовательно,

Случайные векторы не зависят от случайных целых чисел Поэтому в (1.105) можно вначале провести осреднение по а потом — по Учитывая, что

получим

где символ означает осреднение

Итак, задача свелась к рассмотренной ранее задаче минимизации среднего риска вида (1.4) при фиксированном времени управления, равном и частном

виде функций При общем виде среднего риска (1,4) выкладки не меняются. В формуле (1.105) все множители следует заменить на множители вида

Для упрощения вида формулы среднего риска положим Тогда простой подсчет показывает, что уравнения оптимального синтеза должны минимизировать средний риск вида

где

Могут быть использованы и другие модели генерации случайного терминального момента. Так, например, в некоторых прикладных задачам случайное число определяется условием где — первый дискретный момент времени, в который выполнится неравенство

некоторый непрерывный случайный процесс, обычно являющийся результатом прохождения белого шума через заданное динамическое звено. Методика построения среднего риска остается старой. Из физических соображений на терминальный момент задается ограничение

Функцию определим условием при при

Справедливо равенство

Здесь случайный процесс конструируется следующим образом: при при Осредняя в (1.108) почленно с учетом независимости получим формулу вида (1.106), где вероятность выполнения первый раз неравенства