§ 5.2. Задача математического согласования систем координат (математическая выставка)

1. Пусть транспортная система состоит из двух ступеней, на каждой из которых имеется система инерциальной навигации. Примером такой транспортной системы может служить корабль (ступень 1) и стартующий с пего самолет (ступень 2). Ортогональные правые системы координат гироплатформ ступеней 1 и 2 называются соответственно «базовой» и «зависимой» системами координат (б. с. к. и з. с. к.) [38].

Оси б. с. к. и з. с. к. далее обозначаются соответственно через 1, 2, 3 и 1, 2, 3 и совпадают с осями чувствительности троек акселерометров, установленных на каждой из гироплатформ.

Инерциальная навигация ступени 2 после ее отделения от ступени 1 происходит при начальных условиях, равных параметрам движения центра масс ступени 1 перед стартом ступени 2. Поэтому должна быть проведена математическая выставка — определены в функции времени углы ориентации з. с. к. относительно б. с. к. Гироплатформа ступени 2, материализующая з. с. к., обычно заметно грубее (имеет существенно большие уходы), чем гироплатформа ступени 1. Поэтому вспомогательной задачей математической выставки следует считать задачу определения параметров случайного ухода (дрейфа) з. с. к., определяемого в предположении, что дрейф б. с. к. отсутствует: после старта дрейф з. с. к. может быть учтен в алгоритмах инерциальной навигации ступени 2.

3. с. к. может быть совмещена с б. с. к. последовательными поворотами вокруг оси 1 на угол вокруг оси — на угол вокруг на угол Часто углы обозначают соответственно Угол если для совмещения надо поворачивать з. с. к. по часовой стрелке вокруг оси .

Матрица ортогональная матрица направляющих косинусов з. с. к. относительно б. с. к. имеет следующие элементы

Пусть вектор в тот же вектор в з. с. к. Тогда

Соотношение связи производных векторов в проекциях на оси з. с. к. имеет вид

где о) — вектор угловой скорости з. с. к. относительно б. с. к., заданный своими проекциями на з. с. к. Пусть Умножим (5.4) слева на сравнивая с (5.3), найдем

Положим в (5.5) последовательно вектор равным векторам-столбцам единичной матрицы получим известное матричное линейное дифференциальное уравнение, которому удовлетворяют функции (уравнение Пуассона):

где

— компоненты вектора в з. с. к. Аналогично доказывается, что

где имеет вид (5.7), если со — компоненты вектора Заметим, что шесть уравнений в (5.6) следуют из трех уравнений, так как

Кроме того, при использовании матричного уравнения (5.6) следует учитывать, что элементы одного из столбцов матрицы выражаются через элементы двух других столбцов. Так, например,

Обозначим через проекции соответственно на оси б. с. к, и з. с. к. векторов абсолютной угловой

скорости б. с. к. и з. с. к., являющихся известными функциями времени, проекцию на ось V случайного вектора угловой скорости дрейфа з. с. к. Тогда в (5.7) надо положить

и матричное дифференциальное уравнение (5.6) становится нелинейным, содержащим в правых частях полиномы порядка относительно неизвестных Обозначим сигналы выходов акселерометров б. с. к. и интегралы от а и являющиеся вводимыми в БЦВМ сигналами выходов интеграторов уходы нуля акселерометров з. с. к., белый шум, моделирующий быстро меняющиеся ошибки в измерениях . Выражая а через и элементы матрицы получим

Далее, для определенности считаем случайные величины и постоянными в каждой реализации:

Интегрируя обе части (5.9) от 0 до и считая, что величины мало меняются при получим

где — интеграл от в пределах от до Вектор составленный из компонент измеряется без ошибок и удовлетворяет (5.11).

Оценки компонент вектора составленного из девяти элементов матрицы трех компонент 8 трех компонент удовлетворяющих нелинейным (5.6), (5.8) и линейным (5.10) дифференциальным уравнениям, требуют применения рассматриваемых далее алгоритмов нелинейной рекуррентной фильтрации, которые решают задачу математической выставки при произвольных величинах углов между з. с. к. и б. с. к.

2. Для линеаризации задачи предполагается, что некоторыми аппаратурными средствами произведена «грубая выставка», углы 0 стали малы и можно положить Тогда из (5.2)

Из (5.6), (5.8), пренебрегая величинами порядка малости в выражениях для получим

Уравнения (5.11) можно записать так:

где вектор компоненты которого измеряются без ошибок, имеет размерность вектор компоненты которого должен оценивать алгоритм ОРФ § 4.6, имеет размерность и его первые три компоненты равны вторые три компоненты равны третьи три компоненты равны вектор имеет компонентами

Для получения из (5.10), (5.12) уравнений связи векторов и учтем малость величины А, а также то, что малы. Тогда приближенно

где

Из (5.13) и (5.15) видно, что задача разработки алгоритма математической выставки — алгоритма, входом которого служит последовательность измеряемых без ошибок величин выходом — оптимальные оценки величин решается алгоритмом ОРФ, описываемым формулами (4.36) — (4.42) при матрицы приведены в (5.14), (5.16); диагональная матрица, диагональный элемент которой равен величины назначаются по данным экспериментов и интерпретируются как интенсивности белых шумов в выходах акселерометров. В формуле в формуле (4.37) вектор заменяется вектором элементы матрицы будут не равны нулю, если в правых частях уравнений (5.10) будут присутствовать некоторые белые шумы.

Часто ось ориентирована по местной вертикали, и двухступенчатая транспортная система движется горизонтально. Тогда вертикальное ускорение Из-за ряда технических соображений в алгоритме математической выставки обычно не используется информация от интегратора вертикального ускорения; в этом случае из и матрицы надо исключить соответственно 2-ю компоненту и 2-ю строку.

Следует отметить специфику алгоритма математической выставки, заключающуюся в том, что элементы матрицы априори неизвестны и определяются фактически движением (вектором фактического ускорения) двухступенчатой системы, которое в принципе можно выбирать из условия достижения наивысшей точности выставки при учете заданных ограничений на движение Эти элементы, вообще говоря, являются «шумящими», если учитывать, что выходы интеграторов б. с. к. имеют случайные быстро меняющиеся составляющие из-за наличия быстрых шумов в выходах акселерометров б. с. к.

Качество алгоритма ОРФ как оценивателя неизвестных иллюстрируют рис. 5.1 и 5.2, где в функции времени представлены относительные ошибки оценки:

Оценивание проводилось в предположении отсутствия («уходов нулей» акселерометров) -мерным нормированным алгоритмом ОРФ (4.36)-(4.42) при условиях Закон движения б. с. к. в гравитационном поле соответствовал на рис. 5.1 и 5.2.

Рис. 5.1. (см. скан)

Из этих рисунков видно, что наиболее медленно оценивается величина («азимутальный дрейф»).

3. При использовании для математической выставки алгоритма ОРФ Калмана часто считают, что входом алгоритма являются разности выходов интеграторов з. с. к.

и б. с. к., измеряемые со случайными ошибками, независимыми для моментов Векторы измерений соответствуют модели где дивектор, составленный из векторов (компоненты векторов удовлетворяют уравнениям (5.13), принадлежит последовательности независимых случайных векторов,

Рис. 5.2. (см. скан)

Этот алгоритм требует большей производительности БЦВМ, чем алгоритм, основанный на представлении векторов измерений моделью 2, так как размерность оцениваемых векторов равна 12 (или 11) вместо 9.