§ 2.3. Определенные матрицы и выпуклые функции

Изложим основные свойства неотрицательно и положительно определенных матриц и выпуклых функций, используемые в дальнейшем рассмотрении.

1. Пусть А — квадратная матрица. Если для любого вектора или то А называют соответственно неотрицательно определенной или положительно определенной матрицей и обозначают или

Если то А — неособенная. Действительно, в противном случае найдется вектор такой, что откуда Наоборот, если и неособенная, то Действительно, пусть найдется вектор такой, что Но тогда

где произвольный вектор, X — произвольное число. Так как то, положив где достаточно велико, получим что противоречит условию.

Если А симметрична, то существует представление где В — ортогональная матрица — диагональная матрица, составленная из — собственных

чисел матрицы А, которые все вещественны и, если неотрицательны. Положив получим

Так как то из (2.10) следует

где — наибольшее собственное число матрицы А.

2. Функция называется выпуклой вниз, если

где Если в (2.12) стоит знак строгого неравенства, то функция называется строго выпуклой.

Обозначим через вектор градиента и матрицу вторых частных производных выпуклой функции Тогда

Пусть определена в выпуклой области Используя формулу Тейлора, получим

где так как выпуклая область). Учитывая (2.11) и то, что 0, получим

где максимум собственных чисел матриц при

3. Если функция выпукла вниз по то выпукла вниз и

если Действительно,

4. Если функция, выпуклая вниз по где выпуклая область, то выпукла вниз и

Действительно, пусть минимальна при Тогда

5. Если выпуклая вниз функция, то выпукла вниз по х, и функция Действительно,

Аналогично получим, что функция выпукла по х при фиксированном векторе и выпукла по и при фиксированном векторе

6. Если выпуклая вниз, четная функция, то при в функции неограниченно возрастает, если

Действительно,

откуда

Положив получим

Поэтому при