§ 3.6. Функции условных рисков при терминальном управлении

Используя рекуррентные уравнения вида (3.24), (3.25) при можно получить некоторые свойства функций полезные при численной оптимизации терминального управления. Далее считается, что функция потерь выпуклая вниз, четная положительная функция такая, что в любом направлении, проведенном из начала координат, существует

Тогда неограниченно возрастает с ростом Ы. Примером такой функции может служить квадратичная форма при

1. Пусть произведен переход к вектору, составленному из прогнозируемых фазовых координат, и проведена симметризация областей допустимых векторов

Задача оптимизации (3.24) записывается в виде

где

вектор размерности полученная интегрированием от 1 до уравнения (3.22) или рассчитанная по явной формуле (3.21); функция потерь заменена на функцию потерь

В соответствии с изложенным в § 3.1 далее считаем, что Из свойств выпуклых функций и рассуждений по индукции, приведенных в § 2.5, следует, что четные, выпуклые вниз функции.

2. Лемма 3.1. Пусть четная, выпуклая вниз, положительная функция такая, что в любом направлении, проведенном из начала координат в найдется вектор при котором следовательно (см. § 2.3), неограниченно растет с ростом Определим функцию формулой

где четная положительная функция переменных, причем

Тогда

Доказательство. Последовательной заменой переменных легко проверить, что как при четной, так и нечетной величине

где произвольная функция переменных. Так как

то из (3.32) получим

Отсюда найдем

Докажем от противного, что в (3.35) знак равенства быть не может. Пусть для некоторого справедливо»

Равенство (3.36) выполнится тогда и только тогда, когда равенство

окажется справедливым для всех Пусть [0,1]. Используя выпуклость функции можно записать

Неравенство (3.38) усилится, если в его левую часть подставим вместо левую часть (3.39). Тогда получим

Но в соответствии с (3.37) в (3.40) должен быть знак равенства, что возможно лишь, если в (3.38), (3.39) вместо знаков неравенств стоят знаки равенств. Поэтому

Положим в Тогда получим

Так как всегда а величина в (3.42) может быть сколь угодно велика, то

Но из (3.37) при замене на получим

видно, что при достаточно большой у величина останется положительной, если только

Сравнивая (3.43) и (3.45), получим

произвольный вектор, принадлежащий Поэтому

для всех векторов принадлежащих гиперплоскости, образованной векторами вида

длина которых может быть сколь угодно велика. Но по условию величина неограниченно возрастает с ростом что противоречит (3.47). Поэтому (3.36) выполниться не может. Следовательно, справедливо (3.33) и лемма 3.1 доказана.

Лемма 3.2. Пусть выполнены условия леммы 3.1 и, кроме того, матрицы в (3.32) равен Тогда единственный вектор, минимизирующий

для любого вектора

Доказательство проведем от противного. Пусть при некотором выполняется

Но по п. 6 из § 2.3 и, следовательно,

но выпуклая функция и, следовательно,

Поэтому (3.49) выполнится, если тождественно (для всех справедливо равенство

Равенство (3.52) совпадает с (3.37), если поменять местами векторы Поэтому для векторов из (3.52) справедливо следующее из (3.37) равенство (3.41), если в нем поменять местами векторы Итак, из (3.52) следует соотношение

где Из-за равенства (3.50) вектор в (3.53) можно заменить любым вектором удовлетворяющим условию [0, 1]. Поэтому

Зафиксируем в (3.54) вектор положив Тогда и (3.54) примет вид

Здесь величина у может меняться в пределах

Далее считаем вектор таким, что

Покажем, что равенство (3.55) справедливо для сколь угодно больших величин (3.55) выполняется при всех Заменим в (3.55) вектор на вектор где Из (3.55) получим

Формулы для получим

в (3.55), если последовательно заменить у на и Подставляя в (3.56), получим

где Величина у может меняться в пределах

Сравнивая и (3.58), видим, что максимальная величина у больше максимальной величины в (3.55). Продолжая замену векторов подобную вышеописанной, получим, что максимальная допустимая величина в равенстве (3.55) может быть сделана сколь угодно большой. Так как всегда то из (3.55) получим

Равенства (3.49), (3.50) справедливы при замене на Поэтому, заменив в на получим

Из (3.60) при достаточно большой величине следует

Из (3.59), (3.61) и (3.52) при замене на получим

и из (3.55), (3.60) при сколь угодно большой величине найдем

Но (3.62) противоречит условию неограниченного возрастания с ростом Поэтому (3.49) выполниться не может и, следовательно, доказана справедливость (3.48). Лемма 3.2 доказана.

3. Вернемся к рассмотрению задачи (3.29). Допустим, что для функции в любом направлении в существует вектор для которого

Тогда выпуклая четная функция неограниченно возрастает с ростом Положим в Тогда из (3.30) получим, что На основании леммы 3.1

справедливо неравенство

Из свойств выпуклых четных функций и из (3.29), (3.30) следует, что

Поэтому из (3.64) получим

Кроме того, из и из (3.29) получим

Так как область возможных векторов в (3.67) (область достижимости ограничена, то из неограниченного, возрастания функции при увеличении следует, что тем же свойством обладает функция вектора Но тогда из (3.67) следует, что функция неограниченно возрастает с ростом

Заметим, что геометрическая иллюстрация описанного свойства функции заключается в следующем: поверхности уровня функции геометрические места точек в удовлетворяющие условию для любого числа с, являются ограниченными выпуклыми поверхностями.

Для проведения индукции достаточно учесть, что по условию терминальная функция потерь наряду с выпуклостью и четностью обладает свойством, аналогичным (3.63): в любом направлении в существует вектор для которого После этого, проведя рассуждение по индукции, из (3.66) и (3.67) получим

Неравенства (3.64), (3.68), (3.69) полезны для проверки отсутствия грубых ошибок при проведении численных процессов оптимизации.

4. Используя лемму 3.2, проведем качественное рассмотрение вида функций условных рисков и векторов оптимальных управлений, если (условие применимости леммы 3.2) и, кроме того, Так как то последнее условие означает, что матрицы неособенные.

Рис. 3.1.

Обозначим через область в в которой может оказаться вектор если компоненты и удовлетворяют ограничениям (3.28). Эта область — симметричный относительно начала координат, выпуклый многогранник в размерность которого равна Область частный случай областей достижимости, методика определения которых рассматривается далее.

Положим в (3.32)

Тогда (3.32) перейдет в (3.30) и по лемме 3.2

Пусть . Из (3.70) следует, что решение задачи (3.29) удовлетворяет условию следовательно, оптимальное управление линейно зависит от

В этом случае

Пусть произвольный единичный вектор в а — вектор, достигающий границы области

При имеем При величина монотонно и неограниченно возрастает в функции Примерный вид функций представлен на рис. 3.1, где учтены неравенства (3.68) и неравенства которые следуют из того, что области оказываются вложенными друг в друга. При вектор оптимального управления лежит на поверхности параллелепипеда в , определяемого неравенствами (3.28).