§ 7.2. Уменьшение размерности путем перехода от модели измерений 1 к модели измерений 2

Пусть вектор фазовых координат представйм в виде

Модель системы в дискретные моменты времени описывается стохастическими уравнениями (4.34), (4.35), а векторы обратной связи модели измерений 1 имеют вид

Оптимальные оценки векторов получим применением алгоритма ОРФ Калмана (4.94), (4.95) при матрицах вида

Однако в приложениях довольно часты ситуации, в которых необходимо получить неплохие (но не обязательно оптимальные!) оценки векторов неизмеряемых, но связанных с векторами уравнениями (4.34), (4.35). Если при этом надо иметь оценки векторов то такими оценками допустимо считать измеряемые векторы или какие-либо другие векторы, связанные с простыми линейными операциями. В этих случаях не обязательно применять алгоритм (4.95), дающий оптимальные оценки векторов ценой использования матриц и векторов размерностей соответственно

Подобная ситуация возникает, например, если надо оценить векторы скорости и ускорения тела по результатам последовательных измерений его линейных координат, производимых с некоторыми случайными ошибками. В этом случае и при оптимальной оценке всего вектора фазовых координат алгоритм использует матрицы размерности , в то время как при квазиоптимальной оценке только векторов скорости и ускорения порядок используемых матриц уменьшается до .

Рассмотрим алгоритм КОРФ, решающий поставленную выше задачу. Положим

Уравнения (4.34), (4.35) примут вид

где

причем

Векторы образуют последовательность статистически зависимых случайных векторов, так как в входит случайный вектор кроме того, зависимы (из-за Векторы тоже статистически зависимы, так как в векторах зависимы векторы и Для получения квазиоптимальных оценок векторов не будем учитывать статистическую зависимость векторов в последовательностях

Так как в моменты фиксации векторов обратной связи то алгоритм КОРФ для оценки векторов опишется формулами в которых матрицы заменены матрицами определяемыми формулами (7.8). Кроме того, векторы следует заменить на Векторы будут квазиоптимальными оценками векторов полученными, если допустить, что каждая

упомянутая выше последовательность составлена из статистически независимых случайных векторов. Матрицы уже, конечно, не будут к. м. векторов ошибок оценки. При в (4.41), (4.42) следует положить

Для оценки априорной точности квазиоптимального алгоритма положим

Вычитая (7.5) из (4.41), получим, учитывая (7.9):

где

При

Осредняя обе части (7.10) по случайным векторам получим, что вектор м. о. случайного вектора удовлетворяет уравнению

при начальном условии

Для сходимости в среднем (для выполнения при достаточно, чтобы спектральная норма матрицы сходилась к при к Найдем рекуррентное уравнение для вектора Умножая (7.10) справа на транспонированную правую часть (7.10), осредняя и учитывая, что

получим

где

Умножая обе части (7.10) справа на получим после осреднения:

Из (7.12), (7.13) найдем рекуррентное уравнение для

Из (7.11) следует, что (7.14) надо последовательно использовать при начальном условии

где

Сравнивая диагональные элементы матриц (дисперсии ошибок квазиоптимальной оценки) с дисперсиями ошибок оптимальной оценки — последними диагональными элементами матриц определяемых рекуррентной формулой (4.95), можно для конкретных примеров провести сравнительный анализ качеств квазиоптимального и оптимального оценивания вектора

Квазиоптимальной оценкой вектора можно, как уже упоминалось, считать, например, вектор Очевидно, что является несмещенной оценкой вектора производимой с вектором случайных ошибок ошибок такой оценки равна

Для некоторых систем, используя простые стационарные цифровые фильтры и векторы можно уменьшить величины случайных ошибок квазиоптимальной оценки вектора Допустим, что в В этом случае вектор можно получить в результате прохождения векторов измерений через простой цифровой фильтр с «компенсацией динамических ошибок» [61:

где вектор, устраняющий динамические (систематические) ошибки цифрового фильтра, определяется равенством

параметр цифрового фильтра

Чем меньше величина 1 — тем меньше влияют на векторы случайных ошибок измерений, но тем длительнее переходный процесс фильтра — время, в течение которого вектор станет мало отличаться от вектора если и отсутствуют как случайные ошибки измерений, так и шумы, возмущающие систему. При отсутствии этих случайных факторов и справедливо равенство Для получения рекуррентного уравнения, которому удовлетворяет вектор ошибок оценки из обеих частей (7.15) вычтем тождество

Получим

Для определения к. м. вектора можно, например, ввести дополнительные фазовые координаты

Векторы

образуют марковскую последовательность, определяемую стохастическими уравнениями (7.10), (7.16), (7.17). Из этих уравнений сразу следует рекуррентное уравнение для к. м. вектора Искомая к. м. вектора будет ее правым нижним блоком.

Изложенная методика квазиоптимальной фильтрации соответствовала случаю, когда матрица имела вид (7.2). Если матрица имеет общий вид (4.163), то к рассмотренной ситуации придем, сделав замену (4.167) (конечно, при невырожденной матрице

Пример. Рассмотрим опять систему измерения (4.1612), и пусть для уменьшения размерностей матриц и векторов с и до используется описанный алгоритм КОРФ в условиях (применение этого алгоритма можно оправдать, например, если основная задача — оценить скорость, ускорение движущегося тела при измерениях с

ошибками его линейной координаты). Тогда из (4.1613) и (7.4), (7.5)

В таблице 7.1 для различных к приведены величины спектральных норм рассчитанные при условиях (4.1614).

Как видно, с ростом к норма уменьшается, что обеспечивает сходимость алгоритма КОРФ по крайней мере в среднем (за 100 измерений длина вектора первоначальных невязок уменьшилась не менее чем в 100 раз).

Таблица 7.1 (см. скан)

Однако из сравнения с таблицей 4.1 видно, что эта сходимость более медленная, чем сходимость алгоритма ОРФ.