§ 7.5. Двухчастотная рекуррентная фильтрация

1. В настоящее время распространены датчики информации, которые выдают измерения модели 1 в цифровой форме — обычно в виде последовательных кодов. Эта первичная цифровая информация поступает на вход устройства «ввода-вывода» с большой частотой (порядка 100 герц), существенно превышающей малую частоту (порядка 10 герц) вычислений, достаточную для решения задач управления. Как в такой ситуации реализовывать алгоритм ОРФ?

Вычисление по формулам алгоритма (формулы (4.94), с большой частотой, равной частоте поступления первичной информации, часто невозможно из-за ограниченной производительности БЦВМ, однако вычисления по тем же формулам с малой частотой означают использование не всех, а лишь некоторых первичных

измерений. В результате точность оценки текущих фазовых координат может быть значительно хуже точности, достигаемой при вычислениях с большой частотой (выше было показано, что уменьшение в раз частоты измерений модели 1 влияет на условные к. ошибок оценки приближенно так же, как увеличение в раз всех элементов матриц ошибок измерений при сохранении прежней частоты измерений). Это обстоятельство — следствие того, что в модели 1 векторы ошибок измерений независимы.

Если векторы ошибок измерений статистически зависимы, то уменьшение (конечно, в разумных пределах) частоты использования результатов измерений вызовет сравнительно небольшое ухудшение точности оценки. Но упомянутые векторы станут зависимыми, если первичная цифровая информация пройдет через произвольный цифровой фильтр. Поэтому оправдано исследование следующей комбинированной схемы ОРФ. Первичная цифровая информация с частотой ее появления в БЦВМ поступает на вход алгоритма частой фильтрации (ЧФ), который с этой же частотой производит вычисления, осуществляя первичную обработку поступающей информации. Алгоритм ЧФ реализуется отдельными аппаратурными вычислительными средствами (например, принадлежащими УВВ), не участвующими в общей схеме вычислений с малой частотой. Алгоритм должен отличаться возможной простотой и иметь «память»: последовательность независимых случайных векторов, подаваемых на его вход, должна превращаться в последовательность статистически зависимых случайных векторов с достаточно сильной корреляцией.

Векторы на выходе алгоритма ЧФ являются векторами измерений для формул алгоритма ОРФ, вычисления по которым производятся с малой частотой и с учетом статистической зависимости векторов ошибок в измерениях (формулы вида

Покажем, что при выполнении некоторых условий уменьшение частоты использования алгоритма ОРФ не приводит к заметным информационным потерям, практически не ухудшая точность оценки. Пусть момент начала поступления в БЦВМ первичной цифровой - информации, интервал между моментами поступления этой информации, а в алгоритм ОРФ информация, преобразованная алгоритмом ЧФ, поступает в моменты

Считаем, что

где некоторое целое число. Обозначим вектор первичной информации в момент где Тогда

где последовательность независимых случайных векторов ошибок первичных измерений, каждый из которых имеет к. Алгоритм ЧФ выберем в виде

где — вектор выхода алгоритма в момент некоторые неособенные матрицы такие, что

Спектральную норму матрицы а считаем меньше 1, что обеспечит устойчивость алгоритма Равенство (7.27) означает, что алгоритм ЧФ в «статике» имеет коэффициент передачи равным 1: при и достаточно большом к Динамическую систему для уменьшения громоздкости формул считаем стационарной и вначале положим, что отсутствуют векторы управлений и случайных возмущений. Тогда будем иметь

где фундаментальная матрица уравнения (3.1). Условимся, что , положим о и найдем связь векторов Учитывая соотношения и положив найдем

Алгоритм ЧФ (7.26) начинает считать в момент по формуле

Поэтому при уравнение (7.29) принимает вид

где Из (7.29) получим, что измерения (7.25), алгоритм и динамическую систему (7.28) можно в моменты описать стохастическими уравнениями

при измерениях модели 2 вида

где Из (7.32) следует, что случайных векторов имеет вид

Матрицу можно определять или непосредственно по формуле (7.31), или из матричного уравнения

которое получим, умножая правую часть (7.31) вначале слева на а, потом справа на а и вычитая результаты.

Аналогично, матрицу можно находить непосредственно из (7.38) или решая матричное уравнение

которое получим, умножая правую часть (7.38) вначале слева на а, потом справа на и вычитая результаты. Заметим, что у уравнений (7.39), (7.40) есть единственные решения, если соответственно матрицы не имеют одинаковых собственных чисел.

Используем для частой фильтрации простейший цифровой фильтр, при котором матрицы а и в (7.26) равны соответственно

где а — скаляр . Из (7.40) и (7.39) (допустив, что а не совпадает ни с одним собственным числом матрицы а) получим

Так как вектор удовлетворяет (7.34), (7.35), то вектор его условного и условную к. получим применением формул алгоритма ОРФ (4.36)-(4.42), переобозначив на на на на и учитывая, что в даппом случае определяются (7.30) и

Алгоритм ОРФ применяется, начиная с (с момента причем векторы первичной информации поступают на вход алгоритма ЧФ, начиная с момента Матрицы определяются, как следует из (7.36), равенствами

2. Докажем при некоторых предположениях о фундаментальной матрице и числе а в (7.41), что использование алгоритма ОРФ с частотой раз меньшей частоты поступления первичной информации практически не ухудшает точность оценки векторов по сравнению со случаем использования алгоритма ОРФ с частотой в этом случае, конечпо, учитываем, что поступают измерения (7.25) модели 1 и формулы алгоритма ОРФ имеют вид (4.94), (4.95). Подставляя (7.41) в (7.31), запишем (7.31) в виде

Допустим, что траектория динамической системы мало меняется за интервал А. Это означает, что приближенно можно положить

Кроме того, положим, что величипа а близка к 1, так что

и можно положить

Принятое допущение означает, что алгоритм ЧФ обладает значительной «памятью» (постоянная времени непрерывного фильтра — аналога дискретного фильтра (7.26) равна

Считая в получим, учитывая (7.46):

Из (7.38), учитывая, что а найдем

Из (4.36) -(4.40) получим, учитывая (7.47), (7.48):

Из (4.42) найдем

где

Правая часть (7.51) совпадает с выражением для условной к. получаемой при применении алгоритма ОРФ к измерениям модели 1, поступающим с частотой если к. м. ошибок измерений равна Но ранее (§ 4.13) было показано, что эта к. м. равна условной к. получаемой при применении алгоритма ОРФ к измерениям модели 1, поступающим с частотой, в раз большей (частотой и имеющим равную ошибок измерений.

Итак, при выполнении условий (7.44), (7.45) первичная обработка поступающей информации с большой частотой (частотой простым цифровым фильтром и последующее использование с малой частотой (частотой алгоритма ОРФ, входами которого являются выходы простого фильтра в моменты практически не ухудшают точность оценок векторов При этом параметры алгоритма ЧФ (величипы а и на точность оценок практически не влияют (конечно, если выполнено

Заметим, что так как матрицы пропорциональны малым величинам

то для ликвидации возможной потери точности вычислений на БЦВМ целесообразно вместо и подставлять матрицы и

При этом в правой части (4.41) второе слагаемое надо умножить на коэффициент

3. Рассмотрим теперь общий случай, в котором дискретная динамическая система подвергается действию векторов случайных возмущений и векторов управлений, постоянных на интервале А. Тогда вместо (7.28) будем иметь

а вместо уравнений (7.34) -(7.36) получим

где

определяется (7.32).

В алгоритме ОРФ используются формулы (4.36) — (4.42), в которых

определяется правой частью (7.38), векторов Как уже отмечалось, величина А — интервал между моментами применения алгоритма ОРФ определяется при решении задачи управления, использующего При необходимости знать вектор оценок z в момент можно пользоваться экстраполяцией:

4. Пример. Орбитальпая навигация по данным радиовысотомера. Используем двухчастотную рекуррентную фильтрацию для оценки фазовых координат летательного аппарата летящего по околокруговой орбите, если первичная информация, поступающая в БЦВМ с частотой высота полета измеряемая с независимыми случайными ошибками, дисперсия которых равна Считаем, что расстояние от некоторой

номинальной точки, движущейся с круговой скоростью по номинальной круговой орбите, мало по сравнению с радиусом Земли.

Положение в орбитальной системе координат, центр которой совпадает с номинальной точкой, определяем координатой направленной по радиусу-вектору номинальной точки, и координатой направленной по вектору скорости поминальной точки. После линеаризации уравнения движения в орбитальной системе координат имеют вид (см. [14])

где угловая скорость радиуса-вектора номинальной точки.

Перейдем к безразмерному аргументу и положим

Уравнения динамической системы имеют вид

Вычтя из измеряемой высоты высоту поминальной орбиты, получим, что в моменты поступления в БЦВМ информации

где В данном случае

Примем и проведем расчет условных дисперсий ошибок оценки величин по формулам алгоритма ОРФ (4.95) при некоторых априорных дисперсиях величин Так как величина ненаблюдаема, то ее априорную дисперсию положим равной 0. Результаты расчета приведены в таблице 7.3.

Пусть теперь обращение к алгоритму ОРФ происходит в 10 раз реже Чтобы точность оценки фазовых координат не ухудшилась, измерения (7.52) проходят цифровой фильтр (7.26) при а выход фильтра с уменьшенной в 10 раз частотой подается на вход алгоритма ОРФ, описываемого формулами вида (4.36)-(4.42).

Таблица 7.3 (см. скан)

Результаты расчетов по формулам (4.42) приведено в таблице 7.4. Сравнение таблиц 7.3 и 7.4 показывает, что уменьшение в 10 раз частоты обращения к алгоритму ОРФ практически не повлияло на точность оценки фазовых координат.

Таблица 7.4 (см. скан)

Следует отметить, что описанный двухчастотный алгоритм доджен обладать уменьшенной чувствительностью

к постоянным в данной реализации ошибкам датчиков информации. Действительно, в данном случае в (4.41)

Поэтому постоянная ошибка вызовет появление в векторе слагаемого которое при выполнении (7.45) будет близко к нулю из-за (7.46).

5. Рассмотрим иной вид двухчастотной фильтрации, который в моменты результаты частой фильтрации — векторы позволяет считать принадлежащими модели 1, что делает возможным использование алгоритма ОРФ Калмана. Определим вектор формулой

где

Нетрудно проверить, что вектор имеет вид где

а векторы образуют последовательность независимых случайных векторов с к.

Векторы оцениваются алгоритмом ОРФ Калмана, используемым с частотой Из § 4.13 следует, что при и выполнении (7.44) точность оценки двухчастотным алгоритмом мало отличается от точности, достигаемой при использовании алгоритма ОРФ Калмаиа на каждом шаге получения первичной информации.