§ 2.13. Алгоритм извлечения квадратного корня и исправление к. м.

1. Алгоритм определения матрицы будем основывать на обобщении на случай известной процедуры представления случайного вектора с заданной к. м. С > 0 линейным преобразованием случайного вектора с некоррелированными компонентами, описанной, например, в [43] и аналогичной процессу ортогонализации заданного базиса.

В этом параграфе обозначим х центрированный случайный вектор размерности имеющий к. м. С и компоненты некоторое вспомогательное случайное число, которое последовательно принимается равным или 0, или определяемым ниже случайным независимым величинам

Допустим, что положим определим из условия Пусть и, следовательно, Положим определим из условия Пусть следовательно,

Продолжая этот процесс далее, получим, что найдется число

но

так как

Положим следовательно,

По построению и

Положим и определим условий

Пусть

и, следовательно, Продолжая процесс далее, получим, что найдется число

но

Положим следовательно,

По построению

В результате получим разбиение компонент вектора на групп. Группа с номером к состоит из последовательных компонент вектора х,

представляемых линейными комбинациями некоррелированных случайных чисел с не равными нулю дисперсиями. Коэффициенты этих линейных комбинаций и дисперсий выражены через элементы к. м. С. Можно записать

где матрица размерности составленная из элементов и нулей; V — вектор, составленный из компонент Из (2.147) следует, что где диагональная к. элементы которой равны Отсюда получаем, что матрица в (2.128) определяется формулой

где диагональная матрица, элементы которой равны Если к. м. С — неособенная то и матрица а значит, и матрица становятся трехугольными матрицами — матрицами, у которых равны нулю все элементы, лежащие над или под главной диагональю.

2. Матрица получаемая в результате численного интегрирования уравнений (2.126), (2.127), должна обладать свойством корреляционной матрицы — быть неотрицательно определенной. Однако опыт расчетов показывает, что иногда нормальное приближение, использованное при вычислении матриц в (2.121), (2.125), а также накопление ошибок интегрирования довольно быстро приводят к потере свойства неотрицательной определенности. Особенно заметно это явление при использовании для расчетов БЦВМ с уменьшенной длиной разрядной сетки.

Потеря матрицей С свойства приводит к тому, что при определении элементов описанным выше алгоритмом будут возникать Ситуации, в которых В этом случае можно положить или и продолжать процесс. Найденная матрица позволит построить по формуле «исправленную» матрицу С, для которой всегда выполнится условие 0. Такое «исправление» надо проводить периодически в процессе численного интегрирования уравнений (2.126), (2.127), принимая «исправленную» матрицу начальным условием для последующего интегрирования,

3. Так как правые части уравнений (2.126), (2.127) выражаются через матрицу то в принципе можно вообще отказаться от интегрирования матричного уравнения (2.127), заменив его системой дифференциальных уравнений, которым удовлетворяют элементы матрицы

Опишем методику последовательного получения этих дифференциальных уравнений, считая для упрощения, что при В этом случае матрица трехугольная, все диагональные элементы ее положительны и при Из равенства получим, что элементы матрицы удовлетворяют рекуррентным уравнениям

Например,

Дифференцируя последовательно (2.149) при при при и т. д., получим дифференциальные уравнения для элементов матрицы Г:

Правые части дифференциальных уравнений определяются последовательно. Если левая часть уравнения равна то в правую часть входит элемент, принадлежащий строке и левому столбцу матрицы — правой части уравнения (2.127) (конечно, после замены С на и при к — правые части дифференциальных уравнений, найденных на предшествующих шагах.