§ 4.7. Марковская последовательность достаточных статистик

Ниже рассматривается случай, когда от векторов измерений не зависят все матрицы, входящие в (4.34), (4.35). Тогда векторы, составленные из векторов последовательности (4.33), имеют условное (при фиксированных распределение, полностью определяемое числом (условная к. м. зависит лишь от ) и векторами условных (так как то условное распределение вектора вырождено — его плотность вероятности — -мерпая дельта-функция). Поэтому векторы

являются достаточными статистиками векторов Обозначим

Из определения условного и условной к. следует, что для условное (при фиксированных распределение вектора нормально и

Используя (4.34) -(4.37) и (4.41), получим

где при

Положим

Используя обозначение (4.43), стохастические уравнения (4.46), (4.47) запишем в виде

устанавливающем связь векторов достаточных статистик Пусть зафиксированы векторы значит, зафиксирован и вектор Тогда векторы и в (4.48) независимы, условное распределение вектора нормально и, используя (4.45) при замене к на к — 1, получим, учитывая (4.38):

Кроме того, далее, в § 4.8 доказывается независимость векторов (формула (4.69)). Итак, в (4.51) при фиксированном векторе распределение вектора зависит лишь от целого числа к. Поэтому из (4.51) при следует, что последовательность достаточных статистик марковская, если только в (4.51)

В линейной системе при квадратичном критерии качества оценки вида (1.63) дуальных управлений вида не существует, так как из (1.65) и (1.68) при замене на на следует, что

и, следовательно, по зависит от