§ 8.6. Минимизация средних энергозатрат при неполной информации

Рассмотрим при неполной информации разобранную в § 3.16 задачу синтеза по полной информации оптимального терминального управления, ответственного за достижение минимума средних энергозатрат при условии, что вектор последнего управления на который не наложено ограничений, минимизирует среднюю величину терминальной функции потерь являющейся четной, выпуклой вниз положительной функцией первых компонент вектора Решение задачи совпадает с изложенным в § 3.16, если во всех формулах § 3.16 заменить векторы и матрицы на определенные в § 8.2 векторы и матрицы При этом, конечно, как и в § 3.16, предполагается, что и матрицы неособенные. Так, из (3.143) — (3.145)

при определяется при решении задачи

где

Если

то граница области векторов для которых область «нечувствительности» управления), определяется условием

где градиент функции

При малых размерах область имеет форму -мер-ного эллипсоида. Нетрудно показать, учитывая зависимость матриц от и равенство что при

больших ошибках измерений вектора область стягивается в точку. Это соответствует следующим представлениям: если заранее известно, что в результате измерений в момент точность оценок вектора практически не улучшится, то незачем откладывать управление до момента

Из (3.153) следует, что векторы определяются из скалярных уравнений

Из (8.57), (8.58), учитывая нечетность функции получим, что при одномерном управлении оптимальное управление при определится зависимостями

Здесь корень уравнения

при причем

Кроме того, из (8.55), (8.56) и (8.59), (8.60) получим

Если

Первое слагаемое в правой части (8.61) от не зависит. Поэтому при последовательном численном определении величин из вычисляются интегралы в конечных пределах с помощью квадратурной формулы Гаусса [12].

Рассмотрим пример. Пусть динамическая система и измерения модели 1 при ( описываются

уравнениями

где После перехода (ана-логично § 8.4) к безразмерным координатам и времени первые два из уравнений (8.62) описывают движение относительно цели в предположении, что дальность между ними линейно зависит от времени; величины пропорциональны соответственно угловой скорости линии визирования (линии ЛА - цель) и углу наклона этой линии к неподвижному началу отсчета.

Таблица 8.1 (см. скан)

Этот угол измеряется в дискретные моменты времени с ошибками, дисперсия которых пропорциональна

В моменты управления величина скачком изменяется импульсами большой тяги двигателя, направленными нормально к линии визирования. Ответственная за точность управления терминальная функция потерь зависит от пропорциональной промаху относительно цели величины в момент окончания процесса управления.

Считая величину малой, из уравнения получим, что дисперсия ошибок оценки величины описывается формулой

где априорные дисперсии величин Кроме того, В таблице 8.1 по изложенной выше методике для различных величин в функции к приведены величины зоны «нечувствительности» рассчитанные при Как видно, с увеличением к величина быстро падает.

Рис. 8.4.

Это объясняется тем, что с ростом вследствие накопления статистической информации быстро уменьшается разность будущая (для момента информация незначительно увеличивает точность оценивания и величина зоны нечувствительности делается малой.

Альтернативой оптимальному управлению с зоной «нечувствительности» (8.59), (8.60), учитывающему текущую и будущую точность оценки, может служить управление вида

которое в каждый момент принимает оценку за фактическую фазовую координату и импульсом управления сводит ее к нулю. При этом, конечно, точность наведения останется той же, что и при

оптимальном управлении, так как в момент оба управления одинаковы. Однако средние энергозатраты будут меньшими при оптимальном управлении. Это иллюстрирует рис. 8.4, на котором в функции приведены средние энергозатраты при оптимальном управлении и при управлении (8.63), рассчитанные при