§ 4.6. Условные распределения марковской последовательности и оценки по произвольному критерию

1. Рассмотрим последовательность -мерных случайных векторов

определяемых стохастическими уравнениями

матрицы размерностей Векторы независимы с векторами и имеют параметры априорного нормального распределения:

Векторы образуют последовательность условно независимых нормально распределенных векторов с параметрами

где при Векторы управлений некоторые зафиксированные векторы.

Пусть зафиксирована конкретная реализация случайных векторов Рассуждая по индукции, докажем, что условное (при фиксированных распределение вектора нормально. Допустим, что данное утверждение справедливо при замене на и, следовательно, условное (при фиксированных распределение вектора нормально и имеет параметры

Из (4.34), (4.35), (4.35) сразу следует, что векторы условно независимы и условное (при фиксированных совместное распределение векторов нормально и имеет параметры

Перед моментом фиксации вектора эти параметры описывают априориое (доопытное, если опытом считать фиксацию вектора распределение векторов Из леммы 4.1 и формул (4.36) — (4.40) следует, что при условное (при фиксированных распределение вектора нормально и, если матрица неособенная, имеет параметры

При формулы (4.36) — (4.40) не используются и сразу определяются по априорным данным формулами (4.41) и (4.42). Если матрица особенная и имеет ранг то, используя описанный выше -шаговый АЛО, исключим из вектора компонент, функционально связанных (при фиксированных с остальными случайными элементами вектора В векторах необходимо исключить компоненты, соответствующие исключенным компонентам вектора а в матрицах надо исключить соответствующие строки и столбцы.

Меньшее число арифметических операций надо затратить на определение параметра если использовать описанный выше Векторы образуют вектор а матрицы образуют матрицу параметры априорного (перед фиксацией распределения вектора составленного из векторов определяются в результате последовательного применения формул типа, (4.29) — (4.32).

Так как по условию априорное распределение векторов нормально, то по индукции следует, что при любом нормально условное (при фиксированных распределение вектора

Уравнения (4.34), (4.35) описывают эволюцию векторов фазовых координат некоторой линейной дискретной стохастической системы, если матрицы в правых частях (4.34), (4.35), а также векторы управлений и векторы не зависят от фазовых координат. Очевидно, что в этом случае нормально априорное (до фиксации векторов распределение вектора Пусть теперь упомянутые матрицы и векторы являются произвольными нелинейными функциями векторов В этом случае фазовые координаты некоторой нелинейной дискретной стохастической системы и априорное распределение вектора конечно, ненормально. Однако условное (при фиксированных распределение этого вектора нормально и его параметры определяются формулами (4.41), (4.42), причем от векторов измерений зависит не только вектор условного но и условная к.

Формулы (4.41), (4.42) являются частным случаем полученного в [10] алгоритма рекуррентной фильтрации, используемого, если векторы измерений принадлежат модели 2. Одиако методически целесообразнее, наоборот, алгоритмы рекуррентной фильтрации для всех видов векторов измерений получать из Эта точка зрения последовательно проводится далее.

Рекуррентный алгоритм, описываемый формулами можно назвать алгоритмом оптимальной рекуррентной фильтрации (алгоритмом так как он последовательно определяет векторы условных математических ожиданий — векторы оптимальной оценки векторов по среднеквадратичному критерию качества вида (1.63).

2. При определим матрицы соотношениями, аналогичными (4.26, а к. представим в виде

Тогда, как следует из (4.39), (4.40),

а матрицы определятся из квадратных матричных уравнений, следующих из (4.39), (4.40). В этом случае к. может быть представлена в виде

(4.262), предпочтительном при наличии ошибок вычислений. Пусть теперь Тогда

и из формулы (4.264) получим рекуррентную формулу для матрицы корня квадратного из к. м. C:

где

Полученная формула для является рекуррентной, что делает излишним в алгоритме ОРФ определение к. м. по формуле (4.42).

3. Нормальность условного распределения векторов в ряде случаев позволяет несложно найти оценки компонент этих векторов, оптимальные по достаточно общему критерию.

Пусть надо для величины некоторой компоненты вектора найти оптимальную оценку, минимизирующую где заданная положительная функция потерь двух переменных. Обозначим соответственно компоненту вектора и диагональный элемент матрицы являющиеся параметрами условного распределения величины

Как следует из (1.62), величина определится при решении задачи

где

Эта задача имеет простое решение, если четная неубывающая функция Именно к такому классу функций потерь принадлежит использованная в главе 3 терминальная функция: если если Оценка минимизирующая среднее значение этой функции потерь, максимизирует вероятность того, что Перепишем (4.42) в виде

Из леммы 3.3 следует, что является неубывающей функцией следовательно, Поэтому компоненты вектора последовательно определяемые алгоритмом (4.42), являются оценками компонент вектора оптимальными не только для квадратичной функции потерь, и для функций потерь достаточно широкого класса.