§ 2.10. Многомерное нормальное распределение

Напомним свойства многомерного нормального распределения, используемые далее.

1. Распределение случайного вектора х называют нормальным, если его характеристическая функция

имеет вид

где вектор математического ожидания (вектор м. о.), С — корреляционная матрица вектора х:

Матрица С симметрична и неотрицательно определена (С 0, так как

где а — произвольный вектор). Вектор м. о. и к. м. называются параметрами нормального распределения.

2. Если к. м. С > 0 (существует ), то вектор х размера имеет плотность вероятности

где определитель к. м. С. В этом случае распределение называется неособенным и отлична от нуля вероятность попадания точки х в шар произвольно малого радиуса, окружающего любую точку

3. Если к. м. С — особенная то упомянутая выше вероятность отлична от пуля лишь для точек х, принадлежащих некоторой гиперцлоскости, размерность которой равна рангу к. Тогда говорят, что «распределение вектора х локализуется в этой гиперплоскости».