§ 9.4. Моменты и семиинварианты

В некоторых прикладных ситуациях алгоритм НАРФ в нормальном приближении слишком грубо учитывает специфику нелинейной задачи рекуррентного оценивания (один из примеров такой ситуации рассмотрен в конце § 9.3). Поэтому необходима методика дискретного оценивания в ненормальном приближении, которая бы не использовала предположение о нормальности априорного и апостериорного распределений.

Как известно [43], общее распределение случайного вектора х определяется его которая в свою очередь определяется своими семиинвариантами, являющимися коэффициентами разложения функции в

степенной ряд по степспям компонент вектора Тогда

Величины соответствующие называются «семиинвариантами 1-го, 2-го, ... порядков». Из (2.109), (9.20) следует, что если распределение нормально, то все семиинварианты, начиная с 3-го, равны нулю. Поэтому величины 3-го, 4-го и т. д. семиинвариантов служат характеристиками степени отклонения данного распределения от нормального. В обозначении некоторые числа могут быть равны О, что удлиняет запись формул. Поэтому далее используется обозначение где Это означает, что для получения семиинварианта в формуле (9.20) произведено фактическое дифференцирование по соответственно раз.

Далее используется связь семиинвариантов с центральными моментами:

Здесь компоненты векторов Так как

где

то, дифференцируя нужное число раз обе части (9.21) по и положив получим выражения семиинвариантов через центральные моменты. Если дифференцировать по обе части формулы

и далее положить то получим выражения центральных моментов через семиинварианты.

Приведем формулы связи центральных моментов и семиинвариантов по 5-й порядок включительно:

Формулы связи для остальных центральных моментов и семиинвариантов 4-го и 5-го порядков получим, приравнивая друг другу соответствующие индексы и приводя подобные члены. Например, положив в получим

Примем, что для учета нелинейности задачи оценивания достаточно рассматривать эволюцию априорных и условных центральных моментов по 4-й порядок и можно считать равными пулю семиинварианты порядка выше Последнее предположение позволяет центральные моменты выше 4-го порядка выразить через центральные моменты 2-го, 3-го, 4-го порядков. Так, положив равпыми нулю семиинварианты 5-го порядка в (9.25), (9.27) и остальных формулах, следующих из (9.25), получим выражения центральных моментов 5-го порядка через центральные моменты низших порядков.

Заметим, что предположение о возможности положить равными нулю семиинварианты порядков, больших заданного числа часто называют «гипотезой урезания» [23]. Далее принято

Приведем используемые в дальнейшем формулы связи центральных моментов и моментов где

Формулы для остальных моментов по 4-й порядок получим, приравнивая друг другу соответствующие индексы и приводя подобные члены. Так, положив в (9.28), (9.29) получим

Для одной случайной величины далее потребуются формулы, выражающие при через при В этом случае нетрудно получить общую рекуррентную формулу связи центральных моментов и семиинвариантов высших и низших порцдков.

Дифференцируя (9,21) по скаляры), получим

где . Продифференцируем обе части раз, используя формулу Лейбница, и получим искомую рекуррентную формулу, положив

где центральный момент и семиинвариант порядка одной случайной величины. Учитывая «гипотезу урезаиия» при окончательно получим