§ 3.15. Оптимизация терминального управления при случайном моменте остановки измерений

В § 1.10 было показано, что ситуация управления динамической системой со случайным моментом остановки измерений возникает, если в минимизируемую величину среднего риска входит стоимость затрат, расходуемых на измерения. Альтернативные решения о прекращении измерений после момента (решение 1) или о продолжении этих измерений по крайней мере до момента (решение 2) принимаются в зависимости от знака величины где определяются формулами (1.93), (1.94). Если то принимается решение 1; если то принимается решение 2.

В рассматриваемом случае величины и как следует из (3.194), (3.20), имеют вид

где матричная функция была определена в § 3.2; граница области, на которой величина меняет знак, определяется уравнениями

и

Так как величина может быть достаточно велика при принятии решения 1 в момент то нецелесообразно считать вектор управления постоянным на отрезке Поэтому операция минимизации в (3.137) должна определить вектор-функцию

Рассмотрим задачу оптимизации при одномерном управлении, считая четной, неубывающей функцией этом случае, как и в § 3.15, индукция и лемма 3.3 сразу определяют явные формулы оптимального управления и численные методы применяются лишь при решении уравнения вида (3.138).

Пусть и положим

Из принятых свойств функции леммы 3.3 и (3.137) следует, что если то оптимальное управление должно сделать возможно меньшей величину Поэтому, если то при

и

При функция любая функция, удовлетворяющая условию например,

В данном случае

Так — нечетная, неубывающая функция то из лемм 3.3 и 3.4 получим, что четная и неубывающая функция

Итак, если то оптимальное управление определяется (3.140), (3.141).

Пусть теперь и допустим, что в - четная и неубывающая функция Тогда из

леммы 3.3 и (3.136) следует, что в этом случае оптимальное управление определяется формулами (3.110), (3.111) и

Из лемм 3.3 и 3.4 получим, что четная и неубывающая функция Считая, что непрерывные функции найдем, учитывая (3.139), что четная и неубывающая функция Так как

— четная и неубывающая функция то, рассуждая по индукции, получим, что этим свойством обладают функции при

Из физических соображений следует, что при близкой, к нулю величине (и, следовательпо, близкой к нулю величине программного управления не очень больших затратах на измерения в моменты и не очень малых случайных возмущениях динамической системы на отрезке (не очень малой величине нецелесообразно прекращать измерения после момента и тем самым ограничиться после этого момента действием на возмущаемую систему близкого к нулю программного управления . Поэтому при малом в типовых ситуациях должно быть следовательно, принимается решение 2 о продолжении измерений.

Пусть единственный корень уравнения (3.138). Тогда область непрекращения измерений после момента определяется условием наоборот, если то измерения в момент должны быть последними. Процесс последовательных вычислений величин практически ничем не отличается от подробно описанного в § 3.14 процесса последовательных вычислений величин Процесс организуется наиболее просто, если при при