§ 1.3. Влияние обратной связи на качество управления

Покажем, что измерение векторов обратной связи позволяет уменьшить величину среднего риска при оптимальном синтезе векторов управлений. Пусть вначале полезные измерения отсутствуют. Подобная ситуация возникает, например, если ошибки измерений очень велики (измерения не несут информации о векторе фазовых координат). Средний риск запишем в виде

где плотность вероятности векторов зависящая от векторов как от параметров,

Интегрирование в (1.16) проводится по -мерному пространству возможных последовательностей векторов (в дальнейшем часто встречаются многомерные интегралы типа (1.16), являющиеся формальной записью величины математического ожидания; для сокращения формул область интегрирования не указывается, если она совпадает со всем евклидовым пространством соответствующего числа измерений).

Оптимальные управления найдутся при решении задачи (1.6): минимизации правой части (1.16) при ограничениях В результате минимизации получим оптимальные программные управления Векторы зависят лишь от моментов управлений, могут быть найдены до начала управления динамической системой и занесены в память БЦВМ.

Пусть теперь существуют случайные векторы статистически связанные с векторами Это означает, что существует их совместное распределение, причем

где зависящие от условная (при фиксированных плотность вероятности векторов и плотность вероятности векторов Подставляя (1.17) в (1.16) и меняя порядок интегрирования, получим

где положено

Допустим, что в каждой реализации векторы фиксируются, так что можно строить функциями компонент этих векторов. Для минимизации надо минимизировать подынтегральную функцию в (1.18); оптимальные управления

получим при определении минимального среднего риска

Но

Поэтому средний риск при оптимальном программном управлении (этот средний риск — величина в левой части больше, чем средний риск при оптимальном управлении (1.20), использующем информацию о векторах

обратной связи . В (1.21) неравенство переходит в равенство, когда векторы и векторы статистически независимы. Действительно, в этом случае в

и (1.18) перейдет в (1.16), так как

Следует отметить, что в (1.20) вектор оптимального управления в момент является функцией как прошлых, так и будущих векторов обратной связи и физически нереализуем. Для обеспечения физической реализуемости везде ниже требуем выполнения условия

Второй (интегральный) множитель в правой части (1.19) можно назвать «средним риском в данной реализации векторов» Минимизация выбором векторов управлений среднего риска в данной реализации еще не гарантирует минимизации среднего риска так как от этих векторов зависит еще и распределение векторов обратной связи описываемое в (1.19) функцией . В задачах оптимизации оценки фазовых координат динамической системы можно ограничиться минимизацией среднего риска в заданной реализации, так как функция не зависит от результата оценки (если, конечно, результаты оценки не используются при построении векторов управлений).