Главная > Прикладные задачи фильтрации и управления
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 3.17. Оптимизация управления при квадратичных функциях потерь и отсутствии ограничений

Выше было показано, что задача оптимизации терминального одномерного симметрично ограниченного управления решается в аналитическом виде, не требующем привлечения численных методов. Второй случай аналитического решения получим, если считать, что все функции потерь, входящие в критерий оптимальности, являются квадратичными формами, а ограничения на вектор управления отсутствуют.

Рассмотрим задачу (3.24), если

где матрицы симметричны. Рассмотрение основывается на следующих замечаниях:

1. Пусть случайный вектор такой, что — некоторая матрица. Тогда

2. Пусть произвольная матрица. Тогда

Выражепие (3.156) следует из если и учесть, что всегда так как по условию А 0.

3. Пусть Тогда неособенна матрица А:

где матрица соответствующей размерности. Матрица так как для любого вектора х

Тогда, как было показано в § 2.3, матрица неособенная.

Перейдем к решению задачи (3.24) по индукции, приняв для упрощения выкладок, что Пусть в результате предшествующих шагов оптимизации установлено, что имеет вид

где

Из (3.157) получим, учитывая (3.25) и то, что

Так как то строго выпуклая вниз функция и имеет единственный минимум.

Приравнивая нулю градиент по и, получим, что вектор оптимального управления определяется равенством

где

Матрица существует вследствие замечания 3, так как по условию а по предположению Подставляя (3.160) в (3.159), получим минимальный условный риск

где

при этом определяется выражепием (3.16). Сумма трех квадратичных форм в правой части (3.159) неотрицательна (так как при любом векторе х и любом векторе и, в том числе и при в соответствии с формулой (3.160). Поэтому квадратичная форма в правой части (3.161) неотрицательна при любом векторе как видно из (3.162), неотрицательно число Следовательпо, для матрицы и числа справедливы формулы

Из (3.26) и формулы (3.159) при следует, что

Поэтому формулы (3.162), (3.163) являются рекуррентными соотношениями, которые позволяют последовательно определять матрицы и числа С, если учесть начальные условия (3.165). Матрицы при неотрицательно определены, так как по условию а из условий (3.158) были получены условия (3.164).

Решение (3.160) задачи оптимизации не изменится, если положить (критерий оптимальности не «заботится» об уменьшении энергозатрат), по Допустим в (3.157), что Так как по условию то матрица следовательно, неособенная (действительно, при любом векторе так как если Поэтому в (3.160)

Заметим, что если вектор лежит в гиперплоскости то вектор из (3.160) при из (3.166) является решением уравнения этом убедимся, если положим где некоторый вектор, и получим Матрица в (3.161) определится из (3.163) при Так как по условию то и Учитывая (3.165) при по индукции получим, что Матрица в (3.166) — неособенная, и (3.160) для решает задачу оптимизации и при Если то

и

В этом случае при

Оптимальное управление (3.160) доставляет минимум критерию

Из (3.161) следует, что

где априорная к. м. векторов а матрица и число определяются рекуррентными уравнениями (3.162), (3.163) при начальных условиях (3.165).

Как видно из (3.160), векторы оптимального управления не зависят от матриц определяющих статистические характеристики случайных возмущений. Поэтому векторы (3.160) решают задачу оптимального детерминированного управления дискретной линейной системой минимизирующего критерий

При этом

1
Оглавление
email@scask.ru