§ 3.17. Оптимизация управления при квадратичных функциях потерь и отсутствии ограничений

Выше было показано, что задача оптимизации терминального одномерного симметрично ограниченного управления решается в аналитическом виде, не требующем привлечения численных методов. Второй случай аналитического решения получим, если считать, что все функции потерь, входящие в критерий оптимальности, являются квадратичными формами, а ограничения на вектор управления отсутствуют.

Рассмотрим задачу (3.24), если

где матрицы симметричны. Рассмотрение основывается на следующих замечаниях:

1. Пусть случайный вектор такой, что — некоторая матрица. Тогда

2. Пусть произвольная матрица. Тогда

Выражепие (3.156) следует из если и учесть, что всегда так как по условию А 0.

3. Пусть Тогда неособенна матрица А:

где матрица соответствующей размерности. Матрица так как для любого вектора х

Тогда, как было показано в § 2.3, матрица неособенная.

Перейдем к решению задачи (3.24) по индукции, приняв для упрощения выкладок, что Пусть в результате предшествующих шагов оптимизации установлено, что имеет вид

где

Из (3.157) получим, учитывая (3.25) и то, что

Так как то строго выпуклая вниз функция и имеет единственный минимум.

Приравнивая нулю градиент по и, получим, что вектор оптимального управления определяется равенством

где

Матрица существует вследствие замечания 3, так как по условию а по предположению Подставляя (3.160) в (3.159), получим минимальный условный риск

где

при этом определяется выражепием (3.16). Сумма трех квадратичных форм в правой части (3.159) неотрицательна (так как при любом векторе х и любом векторе и, в том числе и при в соответствии с формулой (3.160). Поэтому квадратичная форма в правой части (3.161) неотрицательна при любом векторе как видно из (3.162), неотрицательно число Следовательпо, для матрицы и числа справедливы формулы

Из (3.26) и формулы (3.159) при следует, что

Поэтому формулы (3.162), (3.163) являются рекуррентными соотношениями, которые позволяют последовательно определять матрицы и числа С, если учесть начальные условия (3.165). Матрицы при неотрицательно определены, так как по условию а из условий (3.158) были получены условия (3.164).

Решение (3.160) задачи оптимизации не изменится, если положить (критерий оптимальности не «заботится» об уменьшении энергозатрат), по Допустим в (3.157), что Так как по условию то матрица следовательно, неособенная (действительно, при любом векторе так как если Поэтому в (3.160)

Заметим, что если вектор лежит в гиперплоскости то вектор из (3.160) при из (3.166) является решением уравнения этом убедимся, если положим где некоторый вектор, и получим Матрица в (3.161) определится из (3.163) при Так как по условию то и Учитывая (3.165) при по индукции получим, что Матрица в (3.166) — неособенная, и (3.160) для решает задачу оптимизации и при Если то

и

В этом случае при

Оптимальное управление (3.160) доставляет минимум критерию

Из (3.161) следует, что

где априорная к. м. векторов а матрица и число определяются рекуррентными уравнениями (3.162), (3.163) при начальных условиях (3.165).

Как видно из (3.160), векторы оптимального управления не зависят от матриц определяющих статистические характеристики случайных возмущений. Поэтому векторы (3.160) решают задачу оптимального детерминированного управления дискретной линейной системой минимизирующего критерий

При этом