§ 2.2. Многомерная лииейная интерполяция

Пусть в узлах решетки области найдены числа По какому закону следует строить величины если Для определенности положим, что область параллелепипед в (в противном случае вокруг описываем параллелепипед и заменяем им первоначально найденную область

Обозначим через координаты узлов решетки области Считаем, что узлы расположены равномерно так, что вдоль каждой координатной оси постоянен шаг координат узлов:

Общее число узлов Пусть

координаты точки х удовлетворяют соотношению

где произвольные целые числа, удовлетворяют условию Неравенство (2.4) означает, что точка х принадлежит элементарному параллелепипеду, который определяется целыми числами Его вершины — узлы решетки области имеют координаты где или Поэтому каждой вершине параллелепипеда соответствует число в двоичной системе счисления, имеющее цифр 0 или 1. Количество этих чисел, а значит и число вершин элементарного параллелепипеда, равно

Обозначим

Очевидно, что

Пусть в вершинах элементарного параллелепипеда заданы величины независимо принимают значения 0, 1. Определим величину равенством

В (2.8) суммирование проводится перебором всевозможных двоичных чисел вида Поэтому число слагаемых в (2.8) равно Из (2.5), (2.6) следует, что в (2.8) правая часть является линейной функцией от каждой из величин Поэтому (2.8) можно назвать формулой многомерной линейной интерполяции.

Приведем частные случаи этой формулы.

При

При

Нетрудно по индукции проверить справедливость следующего соотношения, используемого ниже:

При соответствует (2.7). Допустим, что (2.9) выполняется при замене на Но тогда