§ 4.12. Условия неособенности условных к. м.

Когда заведомо известно, что к. м. , определяемая (4.93), будет неособенной и, следовательно, при использовании формул (4.94), (4.95) алгоритма ОРФ Калмана процедуру АЛО примепять не надо? В ряде случаев ответ на этот вопрос дает следующая лемма, при формулировке и доказательстве которой индекс к опущен.

Лемма 4.3. Матрица неособенная, если

а) , R - неособенная;

б) , С — неособенная, (порядка имеет ранг

в) определяемая (4.104) матрица

Доказательство, а) В этом случае

Так как по условию то

б) Среди столбцов матрицы есть I линейно независимых, и, следовательно, для любого не равного 0 вектора у размерности

Тогда если Действительно, пусть особенная; тогда найдется вектор такой, что или

Так как то что противоречит (4.103).

Итак, Но Поэтому из (4.102) следует

в) Очевидно тождество

где

Но Повторяя с замепой на и С на рассуждения пункта б), получим, что

Далее будет полезна лемма 4.4, которая основана на известном матричном тождестве и позволяет в ряде случаев гарантировать неособенность условной к. определяемой формулой (4.95) (индекс к опущен).

Лемма 4.4. Пусть в матрицы неособенные. Тогда — неособенная и

Матрица неособенная, так как по условию Поэтому справедливо матричное тождество

Так как по условию то матрица

неособенная. Поэтому из (4.106) получим

или

Используя (4.107), равенство (4.95) при перепишем в виде

Умножим обе части (4.108) слева на матрицу и получим

что доказывает справедливость (4.105).

Лемма 4.5. Матрицы неособенные, если неособенные.

Доказательство проведем по индукции. Пусть неособенная. Но тогда неособенной будет и так как в неособенная фундаментальная матрица), а к. Далее, из леммы 4.4 следует неособеиность Но неособенная по лемме 4.4, так как по условию иеособеппая к. По ипдукции заключаем, что при всех к к. неособенные.